Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig1 42829
Description: All but one digits of 1 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))

Proof of Theorem dig1
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 11812 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
21exp0d 13117 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵↑0) = 1)
32eqcomd 2730 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (𝐵↑0))
43ad2antrl 766 . . . 4 ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 = (𝐵↑0))
54oveq2d 6781 . . 3 ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)))
6 simprl 811 . . . 4 ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘2))
7 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
87anim2i 594 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (0 ≤ 𝐾𝐾 ∈ ℤ))
98ancomd 466 . . . . 5 ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10 elnn0z 11503 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
119, 10sylibr 224 . . . 4 ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12 0nn0 11420 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1312a1i 11 . . . 4 ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℕ0)
14 digexp 42828 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
156, 11, 13, 14syl3anc 1439 . . 3 ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑0)) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
165, 15eqtrd 2758 . 2 ((0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
17 eluz2nn 11840 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
1817ad2antrl 766 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
19 simprr 813 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
20 nn0ge0 11431 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾))
2221con3d 148 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
2322impcom 445 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 ∈ ℕ0)
2419, 23eldifd 3691 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0))
25 1nn0 11421 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2625a1i 11 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℕ0)
27 dignn0fr 42822 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
2818, 24, 26, 27syl3anc 1439 . . 3 ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = 0)
29 0le0 11223 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
30 breq2 4764 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ 0))
3129, 30mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾)
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 = 0 → 0 ≤ 𝐾))
3332con3d 148 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐾 → ¬ 𝐾 = 0))
3433impcom 445 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐾 = 0)
3534iffalsed 4205 . . 3 ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → if(𝐾 = 0, 1, 0) = 0)
3628, 35eqtr4d 2761 . 2 ((¬ 0 ≤ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
3716, 36pm2.61ian 866 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)1) = if(𝐾 = 0, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  cdif 3677  ifcif 4194   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050  cle 10188  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  cexp 12975  digitcdig 42816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-ico 12295  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-dig 42817
This theorem is referenced by:  0dig1  42830
  Copyright terms: Public domain W3C validator