Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2bits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig2bits 42173
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is its 𝐾 th bit. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2bits ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem dig2bits
StepHypRef Expression
1 nn0re 11286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 11075 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5 reexpcl 12860 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
64, 5sylan 488 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
7 2cnd 11078 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8 2ne0 11098 . . . . . . 7 2 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
10 nn0z 11385 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
1110adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
127, 9, 11expne0d 12997 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ≠ 0)
132, 6, 12redivcld 10838 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝐾)) ∈ ℝ)
1413flcld 12582 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ)
15 mod2eq1n2dvds 15052 . . 3 ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
17 2nn 11170 . . . . 5 2 ∈ ℕ
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
19 simpr 477 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20 nn0rp0 12264 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
2120adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
22 nn0digval 42159 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2318, 19, 21, 22syl3anc 1324 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2423eqeq1d 2622 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1))
25 nn0z 11385 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
26 bitsval2 15128 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2725, 26sylan 488 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2816, 24, 273bitr4d 300 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922  +∞cpnf 10056   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  [,)cico 12162  cfl 12574   mod cmo 12651  cexp 12843  cdvds 14964  bitscbits 15122  digitcdig 42154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ico 12166  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-dvds 14965  df-bits 15125  df-dig 42155
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator