Theorem dig2nn1st 44672

Description: The first (relevant) digit of a positive integer in a binary system is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig2nn1st	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem dig2nn1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11713	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3		blennnelnn 44643	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 11941	. . . 4 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6		nnre 11648	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		nnnn0 11907	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	nn0ge0d 11961	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
9		elrege0 12845	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10	6, 8, 9	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
11		nn0digval 44667	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2))
12	2, 5, 10, 11	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2))
13		n2dvds1 15720	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
14		blennn 44642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
15	14	oveq1d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
16		2z 12017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		uzid 12261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nnrp 12403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
20		relogbzcl 25355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
22	21	flcld 13171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
24		pncan1 11067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
26	15, 25	eqtrd 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
27	26	oveq2d 7175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
28	27	oveq2d 7175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁)))))
29	28	fveq2d 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))))
30		fldivexpfllog2 44632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
31	19, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
32	29, 31	eqtrd 2859	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 1)
33	32	breq2d 5081	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
34	13, 33	mtbiri 329	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
35		2re 11714	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
37	36, 5	reexpcld 13530	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
38		2cnd 11718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
39		2ne0 11744	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
41	5	nn0zd 12088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℤ)
42	38, 40, 41	expne0d 13519	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≠ 0)
43	6, 37, 42	redivcld 11471	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
44	43	flcld 13171	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) ∈ ℤ)
45		mod2eq1n2dvds 15699	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
47	34, 46	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2) = 1)
48	12, 47	eqtrd 2859	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543  +∞cpnf 10675   ≤ cle 10679   − cmin 10873   / cdiv 11300  ℕcn 11641  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ℝ⁺crp 12392  [,)cico 12743  ⌊cfl 13163   mod cmo 13240  ↑cexp 13432   ∥ cdvds 15610   log_b clogb 25345  #_bcblen 44636  digitcdig 44662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-ef 15424  df-sin 15426  df-cos 15427  df-pi 15429  df-dvds 15611  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25143  df-cxp 25144  df-logb 25346  df-blen 44637  df-dig 44663

This theorem is referenced by: (None)