Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2nn1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig2nn1st 42927
Description: The first (relevant) digit of a positive integer in a binary system is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2nn1st (𝑁 ∈ ℕ → (((#b𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem dig2nn1st
StepHypRef Expression
1 2nn 11397 . . . 4 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3 blennnelnn 42898 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
4 nnm1nn0 11546 . . . 4 ((#b𝑁) ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6 nnre 11239 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7 nnnn0 11511 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
87nn0ge0d 11566 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
9 elrege0 12491 . . . 4 (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
106, 8, 9sylanbrc 701 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
11 nn0digval 42922 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (((#b𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2))
122, 5, 10, 11syl3anc 1477 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((#b𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2))
13 n2dvds1 15326 . . . 4 ¬ 2 ∥ 1
14 blennn 42897 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
1514oveq1d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
16 2z 11621 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
17 uzid 11914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘2)
19 nnrp 12055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
20 relogbzcl 24732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2118, 19, 20sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2221flcld 12813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
2322zcnd 11695 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
24 pncan1 10666 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
2615, 25eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
2726oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
2827oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁)))))
2928fveq2d 6357 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))))
30 fldivexpfllog2 42887 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
3119, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
3229, 31eqtrd 2794 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 1)
3332breq2d 4816 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
3413, 33mtbiri 316 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))))
35 2re 11302 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
3736, 5reexpcld 13239 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
38 2cnd 11305 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
39 2ne0 11325 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
415nn0zd 11692 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℤ)
4238, 40, 41expne0d 13228 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≠ 0)
436, 37, 42redivcld 11065 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
4443flcld 12813 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) ∈ ℤ)
45 mod2eq1n2dvds 15293 . . . 4 ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1))))))
4644, 45syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1))))))
4734, 46mpbird 247 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2) = 1)
4812, 47eqtrd 2794 1 (𝑁 ∈ ℕ → (((#b𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  +∞cpnf 10283  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  [,)cico 12390  cfl 12805   mod cmo 12882  cexp 13074  cdvds 15202   logb clogb 24722  #bcblen 42891  digitcdig 42917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-dvds 15203  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524  df-logb 24723  df-blen 42892  df-dig 42918
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator