Theorem dig2nn1st 41691

Description: The first (relevant) digit of a positive integer in a binary system is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig2nn1st	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem dig2nn1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11129	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3		blennnelnn 41662	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 11278	. . . 4 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6		nnre 10971	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		nnnn0 11243	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	nn0ge0d 11298	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
9		elrege0 12220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10	6, 8, 9	sylanbrc 697	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
11		nn0digval 41686	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2))
12	2, 5, 10, 11	syl3anc 1323	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2))
13		n2dvds1 15028	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
14		blennn 41661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
15	14	oveq1d 6619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
16		2z 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		uzid 11646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nnrp 11786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
20		relogbzcl 24412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
22	21	flcld 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 11427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
24		pncan1 10398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
26	15, 25	eqtrd 2655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
27	26	oveq2d 6620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
28	27	oveq2d 6620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁)))))
29	28	fveq2d 6152	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))))
30		fldivexpfllog2 41651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
31	19, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
32	29, 31	eqtrd 2655	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 1)
33	32	breq2d 4625	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
34	13, 33	mtbiri 317	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
35		2re 11034	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
37	36, 5	reexpcld 12965	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
38		2cnd 11037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
39		2ne0 11057	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
41	5	nn0zd 11424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℤ)
42	38, 40, 41	expne0d 12954	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≠ 0)
43	6, 37, 42	redivcld 10797	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
44	43	flcld 12539	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) ∈ ℤ)
45		mod2eq1n2dvds 14995	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
47	34, 46	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2) = 1)
48	12, 47	eqtrd 2655	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015   ≤ cle 10019   − cmin 10210   / cdiv 10628  ℕcn 10964  2c2 11014  ℕ₀cn0 11236  ℤcz 11321  ℤ_≥cuz 11631  ℝ⁺crp 11776  [,)cico 12119  ⌊cfl 12531   mod cmo 12608  ↑cexp 12800   ∥ cdvds 14907   log_b clogb 24402  #_bcblen 41655  digitcdig 41681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-dvds 14908  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-cxp 24208  df-logb 24403  df-blen 41656  df-dig 41682

This theorem is referenced by: (None)