Theorem digexp 44674

Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Proof of Theorem digexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eluz2nn 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnne0d 11690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 3	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5	4	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		nn0z 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
7		nn0z 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
10	9	3adant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11		expsub 13480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
12	5, 10, 11	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
13	12	eqcomd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
14	13	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))))
15	14	oveq1d 7173	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
16	2	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
17		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18		eluzelre 12257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		reexpcl 13449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
20	18, 19	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
21	18	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		eluzge2nn0 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 11961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
25	24	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐵)
26	21, 22, 25	expge0d 13531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
27	20, 26	jca 514	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
28	27	3adant2 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
29		elrege0 12845	. . . 4 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
30	28, 29	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 44667	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
32	16, 17, 30, 31	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
33		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
34	33	eqcomd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35		nn0cn 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
37		nn0cn 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
39	36, 38	subeq0ad 11009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
40	39	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
41	34, 40	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) = 0)
42	41	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = (𝐵↑0))
43	1	exp0d 13507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44	43	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑0) = 1)
45	44	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
46	42, 45	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = 1)
47	46	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (⌊‘1))
48		1zzd 12016	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49		flid 13181	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
51	47, 50	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 1)
52	51	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53		eluz2gt1 12323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
54		1mod 13274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
55	18, 53, 54	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56	55	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 mod 𝐵) = 1)
57	56	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
58	52, 57	eqtr2d 2859	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
59		simprl1 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
60	7	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
61	6	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
62	60, 61	zsubcld 12095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
63	62	3adant1 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
65		nn0re 11909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
67		nn0re 11909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
68	67	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
69	66, 68	sublt0d 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
70	69	biimprd 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
71	70	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
72	71	impcom 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
73		expnegico01 44580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
74	59, 64, 72, 73	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
75		ico01fl0 13192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
77	76	oveq1d 7173	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
78	2	nnrpd 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
79		0mod 13273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81	80	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 mod 𝐵) = 0)
82	81	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
83	77, 82	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84		eluzelz 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
86	85	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
87	67, 65	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88		lenlt 10721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
89	88	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
91	90	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
92	91	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
93	92	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
94	93	impcom 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
95		3simpc 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
96	95	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
97		nn0sub 11950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
99	94, 98	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
100		zexpcl 13447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
101	86, 99, 100	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
102		flid 13181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
104	103	oveq1d 7173	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵))
105	1	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
106	3	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
107	105, 106, 63	expm1d 13523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵))
108	107	eqcomd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
109	108	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
110		pm4.56 985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
111	87	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112		axlttri 10714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
114	113	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115	110, 114	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116	115	expdimp 455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 < 𝑁))
117	116	impcom 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
118	8	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119	118	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120		znnsub 12031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
122	117, 121	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
123		nnm1nn0 11941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
125		zexpcl 13447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
126	86, 124, 125	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127	109, 126	eqeltrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128	18	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
129	128, 106, 63	reexpclzd 13613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ)
130	78	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
131		mod0 13247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132	129, 130, 131	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133	132	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134	127, 133	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135	104, 134	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
136	83, 135	pm2.61ian 810	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137	136	eqcomd 2829	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
138	58, 137	ifeqda 4504	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
139	15, 32, 138	3eqtr4d 2868	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ifcif 4469   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  +∞cpnf 10674   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ℝ⁺crp 12392  [,)cico 12743  ⌊cfl 13163   mod cmo 13240  ↑cexp 13432  digitcdig 44662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-dig 44663

This theorem is referenced by:  dig1  44675