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Theorem digit1 13038
Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal expansion of a number 𝐴 (when base 𝐵 = 10). 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
digit1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))

Proof of Theorem digit1
StepHypRef Expression
1 digit2 13037 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
213coml 1292 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
323expa 1284 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
43oveq1d 6705 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵𝐾)) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵𝐾)))
5 nnre 11065 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
6 nnnn0 11337 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
7 reexpcl 12917 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ)
85, 6, 7syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ)
9 remulcl 10059 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
108, 9sylan 487 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
11 reflcl 12637 . . . . . . 7 (((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
13 nnrp 11880 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
1413ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1512, 14modcld 12714 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ)
16 nnexpcl 12913 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐾) ∈ ℕ)
176, 16sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) ∈ ℕ)
1817nnrpd 11908 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ+)
1918adantr 480 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ+)
20 modge0 12718 . . . . . 6 (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
2112, 14, 20syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
225ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
238adantr 480 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ)
24 modlt 12719 . . . . . . 7 (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
2512, 14, 24syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
26 nncn 11066 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
27 exp1 12906 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑1) = 𝐵)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
305adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31 nnge1 11084 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
33 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
34 nnuz 11761 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3533, 34syl6eleq 2740 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
36 leexp2a 12956 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵𝐾 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵𝐾))
3730, 32, 35, 36syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵𝐾))
3829, 37eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐵𝐾))
3938adantr 480 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵𝐾))
4015, 22, 23, 25, 39ltletrd 10235 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵𝐾))
41 modid 12735 . . . . 5 (((((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐾) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∧ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵𝐾))) → (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵𝐾)) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
4215, 19, 21, 40, 41syl22anc 1367 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵𝐾)) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
43 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℕ)
44 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45 reexpcl 12917 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
465, 44, 45syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47 remulcl 10059 . . . . . . . 8 (((𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
4846, 47sylan 487 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
49 nnexpcl 12913 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
5044, 49sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
5150adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
52 modmulnn 12728 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
5343, 48, 51, 52syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
54 expm1t 12928 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵))
55 expcl 12918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
5644, 55sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
57 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5856, 57mulcomd 10099 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
5954, 58eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
6026, 59sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
6160adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
6261oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)) = ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
6361oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) = ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴))
6426ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6526, 44, 55syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
6665adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
67 recn 10064 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6867adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6964, 66, 68mulassd 10101 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
7063, 69eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
7170fveq2d 6233 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
7271, 61oveq12d 6708 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
7353, 62, 723brtr4d 4717 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)))
74 reflcl 12637 . . . . . . . 8 (((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
7548, 74syl 17 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
76 remulcl 10059 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
7722, 75, 76syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
78 modsubdir 12779 . . . . . 6 (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐾) ∈ ℝ+) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵𝐾)) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)))))
7912, 77, 19, 78syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵𝐾)) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)))))
8073, 79mpbid 222 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵𝐾)) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))
814, 42, 803eqtr3d 2693 . . 3 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))
82813impa 1278 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))
83823comr 1290 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cuz 11725  +crp 11870  cfl 12631   mod cmo 12708  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901
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