Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0fr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0fr 41684
Description: The digits of the fractional part of a nonnegative integer are 0. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignn0fr ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignn0fr
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
2 eldifi 3710 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
3 nn0re 11245 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
4 nn0ge0 11262 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5 elrege0 12220 . . . 4 (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
63, 4, 5sylanbrc 697 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 digval 41681 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
81, 2, 6, 7syl3an 1365 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
9 nnz 11343 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10 eldif 3565 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
11 znnn0nn 11433 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
1210, 11sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
1312nnnn0d 11295 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ0)
14 zexpcl 12815 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
159, 13, 14syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
16153adant3 1079 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
17 nn0z 11344 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
18173ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
1916, 18zmulcld 11432 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ)
20 flid 12549 . . . . 5 (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
2221oveq1d 6619 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵))
23 nnre 10971 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
24 reexpcl 12817 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
2523, 13, 24syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
2625recnd 10012 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
27263adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
28 nn0cn 11246 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
29283ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
30 nncn 10972 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
31 nnne0 10997 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
3230, 31jca 554 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
33323ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
34 div23 10648 . . . . . . 7 (((𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
3527, 29, 33, 34syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
36303ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
37313ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
3812nnzd 11425 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
39383ad2ant2 1081 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
4036, 37, 39expm1d 12958 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) = ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵))
4140eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) = (𝐵↑(-𝐾 − 1)))
4241oveq1d 6619 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
4335, 42eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
44 nnm1nn0 11278 . . . . . . . . 9 (-𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
4512, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
46 zexpcl 12815 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
479, 45, 46syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
48473adant3 1079 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
4948, 18zmulcld 11432 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
5043, 49eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ)
51253adant3 1079 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
5233ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5351, 52remulcld 10014 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ)
54 nnrp 11786 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
55543ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
56 mod0 12615 . . . . 5 ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
5753, 55, 56syl2anc 692 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
5850, 57mpbird 247 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0)
5922, 58eqtrd 2655 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = 0)
608, 59eqtrd 2655 1 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  +crp 11776  [,)cico 12119  cfl 12531   mod cmo 12608  cexp 12800  digitcdig 41678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-dig 41679
This theorem is referenced by:  dig1  41691
  Copyright terms: Public domain W3C validator