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Theorem dignn0ldlem 41685
Description: Lemma for dignnld 41686. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignn0ldlem ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵𝐾))

Proof of Theorem dignn0ldlem
StepHypRef Expression
1 nnre 10971 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
213ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 eluzelre 11642 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 eluz2nn 11670 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
6 nnnn0 11243 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
76nn0ge0d 11298 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐵)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐵)
983ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝐵)
10 nnrp 11786 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
11 relogbzcl 24412 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
1210, 11sylan2 491 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
13123adant3 1079 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
144, 9, 13recxpcld 24369 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
15 eluzelre 11642 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
16153ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
174, 9, 16recxpcld 24369 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝑐𝐾) ∈ ℝ)
181leidd 10538 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁𝑁)
20 eluz2cnn0n1 41586 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
21 nncn 10972 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22 nnne0 10997 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
23 eldifsn 4287 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
2421, 22, 23sylanbrc 697 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
25 cxplogb 24424 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
2620, 24, 25syl2an 494 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
2719, 26breqtrrd 4641 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
28273adant3 1079 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ≤ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
29 eluz2 11637 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) ↔ (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾))
3012adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
31 flltp1 12541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
33 zre 11325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
36 zre 11325 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
39 ltletr 10073 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4030, 35, 38, 39syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4132, 40mpand 710 . . . . . . . . . 10 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4241ex 450 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
4342com23 86 . . . . . . . 8 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
44433impia 1258 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4544com12 32 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4629, 45syl5bi 232 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
47463impia 1258 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)
48 eluz2gt1 11704 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
493, 48jca 554 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
50493ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
51 cxplt 24340 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵𝑐𝐾)))
5250, 13, 16, 51syl12anc 1321 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵𝑐𝐾)))
5347, 52mpbid 222 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵𝑐𝐾))
542, 14, 17, 28, 53lelttrd 10139 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵𝑐𝐾))
55 eluzelcn 11643 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
56553ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
57 eluz2n0 11672 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
58573ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
59 eluzelz 11641 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
60593ad2ant3 1082 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
61 cxpexpz 24313 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵𝑐𝐾) = (𝐵𝐾))
6261breq2d 4625 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐵𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵𝐾)))
6356, 58, 60, 62syl3anc 1323 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 < (𝐵𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵𝐾)))
6454, 63mpbid 222 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  {csn 4148  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  cfl 12531  cexp 12800  𝑐ccxp 24206   logb clogb 24402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-cxp 24208  df-logb 24403
This theorem is referenced by:  dignnld  41686
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