Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0ldlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0ldlem 42898
Description: Lemma for dignnld 42899. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignn0ldlem ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵𝐾))

Proof of Theorem dignn0ldlem
StepHypRef Expression
1 nnre 11211 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
213ad2ant2 1128 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 eluzelre 11882 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 eluz2nn 11911 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
6 nnnn0 11483 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
76nn0ge0d 11538 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐵)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐵)
983ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 0 ≤ 𝐵)
10 nnrp 12027 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
11 relogbzcl 24703 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
1210, 11sylan2 492 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
13123adant3 1126 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
144, 9, 13recxpcld 24660 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
15 eluzelre 11882 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
16153ad2ant3 1129 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
174, 9, 16recxpcld 24660 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝑐𝐾) ∈ ℝ)
181leidd 10778 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
1918adantl 473 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁𝑁)
20 eluz2cnn0n1 42803 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
21 nncn 11212 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22 nnne0 11237 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
23 eldifsn 4454 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
2421, 22, 23sylanbrc 701 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
25 cxplogb 24715 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
2620, 24, 25syl2an 495 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) = 𝑁)
2719, 26breqtrrd 4824 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
28273adant3 1126 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 ≤ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)))
29 eluz2 11877 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) ↔ (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾))
3012adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ)
31 flltp1 12787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))
33 zre 11565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
36 zre 11565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
39 ltletr 10313 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4030, 35, 38, 39syl3anc 1473 . . . . . . . . . . 11 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝐵 logb 𝑁) < ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4132, 40mpand 713 . . . . . . . . . 10 (((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4241ex 449 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
4342com23 86 . . . . . . . 8 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾 → ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)))
44433impia 1109 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4544com12 32 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1) ≤ 𝐾) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
4629, 45syl5bi 232 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾))
47463impia 1109 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 logb 𝑁) < 𝐾)
48 eluz2gt1 11945 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
493, 48jca 555 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
50493ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵))
51 cxplt 24631 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ ((𝐵 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵𝑐𝐾)))
5250, 13, 16, 51syl12anc 1471 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → ((𝐵 logb 𝑁) < 𝐾 ↔ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵𝑐𝐾)))
5347, 52mpbid 222 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑁)) < (𝐵𝑐𝐾))
542, 14, 17, 28, 53lelttrd 10379 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵𝑐𝐾))
55 eluzelcn 11883 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
56553ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
57 eluz2n0 11913 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
58573ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐵 ≠ 0)
59 eluzelz 11881 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
60593ad2ant3 1129 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
61 cxpexpz 24604 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵𝑐𝐾) = (𝐵𝐾))
6261breq2d 4808 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐵𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵𝐾)))
6356, 58, 60, 62syl3anc 1473 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → (𝑁 < (𝐵𝑐𝐾) ↔ 𝑁 < (𝐵𝐾)))
6454, 63mpbid 222 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝐵 logb 𝑁)) + 1))) → 𝑁 < (𝐵𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  cdif 3704  {csn 4313  {cpr 4315   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   < clt 10258  cle 10259  cn 11204  2c2 11254  cz 11561  cuz 11871  +crp 12017  cfl 12777  cexp 13046  𝑐ccxp 24493   logb clogb 24693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-log 24494  df-cxp 24495  df-logb 24694
This theorem is referenced by:  dignnld  42899
  Copyright terms: Public domain W3C validator