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Theorem dih1dimatlem 35436
Description: Lemma for dih1dimat 35437. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l = (le‘𝐾)
dih1dimat.c 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j 𝐽 = (invr𝐹)
dih1dimat.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m · = ( ·𝑠𝑈)
dih1dimat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z 0 = (0g𝑈)
dih1dimat.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Distinct variable groups:   ,   𝐵,   𝑓,𝑠,𝐸   𝐶,   ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,,𝑠   𝑈,𝑓,,𝑠   𝑓,𝐻,,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,𝑊,,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑠)   𝐶(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,,𝑠)   𝑆(𝑓,,𝑠)   · (𝑓,,𝑠)   𝐸()   𝐹(𝑓,,𝑠)   𝐺(𝑓,,𝑠)   𝐼()   𝐽(𝑓,𝑠)   (𝑓,𝑠)   𝑁()   𝑂(𝑓,,𝑠)   𝑉()   0 (𝑓,,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 𝑟 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dih1dimat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 35216 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5 dih1dimat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 dih1dimat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 dih1dimat.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 dih1dimat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
95, 6, 7, 8islsat 33096 . . . 4 (𝑈 ∈ LVec → (𝐷𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐷𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
1110biimpa 499 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}))
12 eldifi 3690 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣𝑉)
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 35194 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
1615eleq2d 2669 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
1712, 16syl5ib 232 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
1817imp 443 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸))
19 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → 𝑠 = 𝑂)
2019opeq2d 4338 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ = ⟨𝑓, 𝑂⟩)
2120sneqd 4133 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → {⟨𝑓, 𝑠⟩} = {⟨𝑓, 𝑂⟩})
2221fveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
23 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝐾)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
2624, 1, 13, 25trlcl 34269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (le‘𝐾)
2827, 1, 13, 25trlle 34289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) 𝑊)
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30 eqid 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 35344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)))
3223, 26, 28, 31syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)))
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 35275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
3532, 34eqtr2d 2641 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) = (𝐼‘(𝑅𝑓)))
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 35374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)
39 f1fn 5997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:𝐵1-1𝑆𝐼 Fn 𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐼 Fn 𝐵)
41 fnfvelrn 6246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (𝑅𝑓) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) ∈ ran 𝐼)
4240, 26, 41syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) ∈ ran 𝐼)
4335, 42eqeltrd 2684 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4443adantrr 748 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4622, 45eqeltrd 2684 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
47 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
49 eqid 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 35190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
5251rexeqdv 3118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)))
53 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
54 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑡𝐸)
55 opelxpi 5059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
5655ad3antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
57 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 · = ( ·𝑠𝑈)
581, 13, 14, 2, 57dvhvscacl 35210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸 ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
5953, 54, 56, 58syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
60 eleq1a 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6261rexlimdva 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6362pm4.71rd 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩))))
64 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑓𝑇)
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑓𝑇)
66 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑠𝐸)
6766adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑠𝐸)
681, 13, 14, 2, 57dvhopvsca 35209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)
6953, 54, 65, 67, 68syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)
7069eqeq2d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
7170rexbidva 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
7271anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
7352, 63, 723bitrd 292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
7473abbidv 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)})
75 df-rab 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)}
7674, 75syl6eqr 2658 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩})
77 ssrab2 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸)
78 relxp 5136 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel (𝑇 × 𝐸)
79 relss 5116 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸) → (Rel (𝑇 × 𝐸) → Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}))
8077, 78, 79mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}
81 relopab 5154 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)}
82 vex 3172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖 ∈ V
83 vex 3172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝 ∈ V
84 eqeq1 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑖 → (𝑔 = (𝑟𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑟𝐺)))
8584anbi1d 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)))
86 fveq1 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝐺) = (𝑝𝐺))
8786eqeq2d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑝 → (𝑖 = (𝑟𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑝𝐺)))
88 eleq1 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝐸𝑝𝐸))
8987, 88anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑖 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸)))
9082, 83, 85, 89opelopab 4909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)} ↔ (𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸))
91 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
92 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
93 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = (invr𝐹)
94 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
951, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94dih1dimatlem0 35435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))))
96953expa 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))))
97 opelxp 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝑖𝑇𝑝𝐸))
9882, 83opth 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))
9998rexbii 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))
10097, 99anbi12i 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠))))
10196, 100syl6bbr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
102 eqeq1 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
103102rexbidv 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
104103elrab 3327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
105101, 104syl6bbr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}))
10690, 105syl5rbb 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)}))
10780, 81, 106eqrelrdv 5125 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
10876, 107eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
1091, 2, 47dvhlmod 35217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑈 ∈ LMod)
1101, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 35195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
111110adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
11248, 49, 5, 57, 6lspsn 18766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)})
113109, 111, 112syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)})
114 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑠𝑂)
11524, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93tendoinvcl 35211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑠𝑂) → ((𝐽𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽𝑠) ≠ 𝑂))
116115simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑠𝑂) → (𝐽𝑠) ∈ 𝐸)
11747, 66, 114, 116syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐽𝑠) ∈ 𝐸)
1181, 13, 14tendocl 34873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐽𝑠) ∈ 𝐸𝑓𝑇) → ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
11947, 117, 64, 118syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
12027, 91, 1, 92lhpocnel2 34123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12147, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12227, 91, 1, 13ltrnel 34243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊))
12347, 119, 121, 122syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊))
124 eqid 2606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
12527, 91, 1, 124, 29dihvalcqat 35346 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊)) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
12647, 123, 125syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
12727, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94dicval2 35286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
12847, 123, 127syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
129126, 128eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
130108, 113, 1293eqtr4d 2650 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
13124, 1, 29dihfn 35375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
132131adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐼 Fn 𝐵)
133132adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐼 Fn 𝐵)
134 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐾 ∈ HL)
135 hlop 33467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐾 ∈ OP)
13724, 1lhpbase 34102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
138137ad3antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑊𝐵)
139 eqid 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
14024, 139opoccl 33299 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
141136, 138, 140syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
14292, 141syl5eqel 2688 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑃𝐵)
14324, 1, 13ltrncl 34229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
14447, 119, 142, 143syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
145 fnfvelrn 6246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
146133, 144, 145syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
147130, 146eqeltrd 2684 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
14846, 147pm2.61dane 2865 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
149148ralrimivva 2950 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑓𝑇𝑠𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
150 sneq 4131 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → {𝑣} = {⟨𝑓, 𝑠⟩})
151150fveq2d 6089 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}))
152151eleq1d 2668 . . . . . . . . 9 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼))
153152ralxp 5170 . . . . . . . 8 (∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ ∀𝑓𝑇𝑠𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
154149, 153sylibr 222 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155154r19.21bi 2912 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
15618, 155syldan 485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157 eleq1a 2679 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158156, 157syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159158rexlimdva 3009 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160159adantr 479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
16111, 160mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2592  wne 2776  wral 2892  wrex 2893  {crab 2896  cdif 3533  wss 3536  {csn 4121  cop 4127   class class class wbr 4574  {copab 4633  cmpt 4634   I cid 4935   × cxp 5023  ran crn 5026  cres 5027  ccom 5029  Rel wrel 5030   Fn wfn 5782  1-1wf1 5784  cfv 5787  crio 6485  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  Scalarcsca 15714   ·𝑠 cvsca 15715  lecple 15718  occoc 15719  0gc0g 15866  invrcinvr 18437  LModclmod 18629  LSubSpclss 18696  LSpanclspn 18735  LVecclvec 18866  LSAtomsclsa 33079  OPcops 33277  Atomscatm 33368  HLchlt 33455  LHypclh 34088  LTrncltrn 34205  trLctrl 34263  TEndoctendo 34858  DVecHcdvh 35185  DIsoBcdib 35245  DIsoCcdic 35279  DIsoHcdih 35335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-riotaBAD 33057
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-tpos 7213  df-undef 7260  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-0g 15868  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-p1 16806  df-lat 16812  df-clat 16874  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-subg 17357  df-cntz 17516  df-lsm 17817  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-oppr 18389  df-dvdsr 18407  df-unit 18408  df-invr 18438  df-dvr 18449  df-drng 18515  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-lsp 18736  df-lvec 18867  df-lsatoms 33081  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-llines 33602  df-lplanes 33603  df-lvols 33604  df-lines 33605  df-psubsp 33607  df-pmap 33608  df-padd 33900  df-lhyp 34092  df-laut 34093  df-ldil 34208  df-ltrn 34209  df-trl 34264  df-tendo 34861  df-edring 34863  df-disoa 35136  df-dvech 35186  df-dib 35246  df-dic 35280  df-dih 35336
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