Theorem dih1dimatlem0 38468

Description: Lemma for dih1dimat 38470. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝐶,ℎ   𝑖,𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠,𝑡   𝑓,ℎ,𝐾,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑇,𝑓,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠,𝑡   𝑓,𝐻,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑉,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑊,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝐼,𝑠   𝑖,𝑂,𝑝,𝑡   𝑃,ℎ   𝑡, ·

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐵(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐶(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑅(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   · (𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑝)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑡,ℎ,𝑖,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   ≤ (𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑁(ℎ,𝑖,𝑝)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem dih1dimatlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
2		simpl1 1187	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 ∈ 𝐸)
4		dih1dimat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dih1dimat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
6		dih1dimat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dih1dimat.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lhpocnel2 37159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10		simpl2r 1223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
11		simpl3 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ≠ 𝑂)
12		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16		dih1dimat.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
17		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
18		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
19	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendoinvcl 38244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
20	19	simpld 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
21	2, 10, 11, 20	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
22		simpl2l 1222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
23	6, 13, 14	tendocl 37907	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
24	2, 21, 22, 23	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
25	4, 5, 6, 13	ltrnel 37279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
26	2, 24, 9, 25	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
27		dih1dimat.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
28	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotacl 37719	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
29	2, 9, 26, 28	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
30	6, 13, 14	tendocl 37907	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
31	2, 3, 29, 30	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
32	1, 31	eqeltrd 2916	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 ∈ 𝑇)
33	6, 14	tendococl 37912	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
34	2, 3, 21, 33	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
35		simp1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
36	8	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
37	20	3adant2l 1174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
38		simp2l 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
39	35, 37, 38, 23	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
40	35, 39, 36, 25	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
41	35, 36, 40, 28	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 ∈ 𝑇)
42	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotaval 37721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
43	35, 36, 40, 42	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
44	4, 5, 6, 13	cdlemd 37347	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
45	35, 41, 39, 36, 43, 44	syl311anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
46	45	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
47	46	fveq2d 6677	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
48	6, 13, 14	tendocoval 37906	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
49	2, 3, 21, 22, 48	syl121anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
50	47, 1, 49	3eqtr4d 2869	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
51		coass 6121	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠) = (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠))
52	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendolinv 38245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
53	2, 10, 11, 52	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
54	53	coeq2d 5736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
55	6, 13, 14	tendo1mulr 37911	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
56	2, 3, 55	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
57	54, 56	eqtrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = 𝑝)
58	51, 57	syl5req 2872	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
59		fveq1 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡‘𝑓) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
60	59	eqeq2d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ↔ 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓)))
61		coeq1 5731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡 ∘ 𝑠) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
62	61	eqeq2d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠) ↔ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠)))
63	60, 62	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → ((𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) ↔ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))))
64	63	rspcev 3626	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
65	34, 50, 58, 64	syl12anc 834	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
66	32, 3, 65	jca31 517	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
67		simp3r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))
68	67	fveq1d 6675	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
69		simp1l1 1262	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
70		simp2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑡 ∈ 𝐸)
71		simpl2r 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
72	71	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝐸)
73	6, 14	tendococl 37912	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
74	69, 70, 72, 73	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
75		simp1l3 1264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ≠ 𝑂)
76	69, 72, 75, 20	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
77		simpl2l 1222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
78	77	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
79	6, 13, 14	tendocoval 37906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
80	69, 74, 76, 78, 79	syl121anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
81		coass 6121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)))
82	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendorinv 38246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
83	69, 72, 75, 82	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
84	83	coeq2d 5736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
85	6, 13, 14	tendo1mulr 37911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
86	69, 70, 85	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
87	84, 86	eqtrd 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = 𝑡)
88	81, 87	syl5eq 2871	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = 𝑡)
89	88	fveq1d 6675	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑡‘𝑓))
90	68, 80, 89	3eqtr2rd 2866	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
91		simp3l 1197	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑡‘𝑓))
92	45	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
93	92	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
94	93	fveq2d 6677	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
95	90, 91, 94	3eqtr4d 2869	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
96	95	rexlimdv3a 3289	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
97	96	impr 457	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
98		simprlr 778	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑝 ∈ 𝐸)
99	97, 98	jca 514	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
100	66, 99	impbida 799	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∃wrex 3142   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149   I cid 5462   ↾ cres 5560   ∘ ccom 5562  ‘cfv 6358  ℩crio 7116  Basecbs 16486  Scalarcsca 16571   ·_𝑠 cvsca 16572  lecple 16575  occoc 16576  0_gc0g 16716  inv_rcinvr 19424  LSubSpclss 19706  LSpanclspn 19746  LSAtomsclsa 36114  Atomscatm 36403  HLchlt 36490  LHypclh 37124  LTrncltrn 37241  trLctrl 37298  TEndoctendo 37892  DVecHcdvh 38218  DIsoHcdih 38368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-riotaBAD 36093

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-undef 7942  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19507  df-oposet 36316  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491  df-llines 36638  df-lplanes 36639  df-lvols 36640  df-lines 36641  df-psubsp 36643  df-pmap 36644  df-padd 36936  df-lhyp 37128  df-laut 37129  df-ldil 37244  df-ltrn 37245  df-trl 37299  df-tendo 37895  df-edring 37897  df-dvech 38219

This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  38469