Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihatexv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihatexv 35441
Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatexv.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihatexv.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatexv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatexv.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihatexv.o 0 = (0g𝑈)
dihatexv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihatexv.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihatexv.q (𝜑𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
dihatexv (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dihatexv
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihatexv.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simplr 787 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄𝐴)
4 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
5 dihatexv.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 dihatexv.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dihatexv.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 eqid 2609 . . . . . . . . 9 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
11 dihatexv.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 dihatexv.i . . . . . . . . 9 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13 dihatexv.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dih1dimb2 35344 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
152, 3, 4, 14syl12anc 1315 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
161ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
18 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
195, 8, 9, 18, 10tendo0cl 34892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21 dihatexv.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑈)
228, 9, 18, 11, 21dvhelvbasei 35191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉)
2316, 17, 20, 22syl12anc 1315 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉)
24 sneq 4134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → {𝑥} = {⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})
2524fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩}))
2625eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
2726rspcev 3281 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
2823, 27sylan 486 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
2928ex 448 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩}) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
3029adantld 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
3130rexlimdva 3012 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
3215, 31mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
331ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
34 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
356, 7, 8, 34lhpocnel2 34119 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
37 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄𝐴)
38 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
39 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
406, 7, 8, 9, 39ltrniotacl 34681 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
4133, 36, 37, 38, 40syl112anc 1321 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
428, 9, 18tendoidcl 34871 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
4333, 42syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
448, 9, 18, 11, 21dvhelvbasei 35191 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉)
4533, 41, 43, 44syl12anc 1315 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉)
466, 7, 8, 34, 9, 12, 11, 13, 39dih1dimc 35345 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
4733, 37, 38, 46syl12anc 1315 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
48 sneq 4134 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → {𝑥} = {⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})
4948fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
5049eqeq2d 2619 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})))
5150rspcev 3281 . . . . . . 7 ((⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
5245, 47, 51syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
5332, 52pm2.61dan 827 . . . . 5 ((𝜑𝑄𝐴) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
541simpld 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ HL)
5554ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝐾 ∈ HL)
56 hlatl 33461 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝐾 ∈ AtLat)
58 simpllr 794 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄𝐴)
59 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6059, 7atn0 33409 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
6157, 58, 60syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
62 sneq 4134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → {𝑥} = { 0 })
6362fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{ 0 }))
64633ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{ 0 }))
65 simp1ll 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝜑)
668, 11, 1dvhlmod 35213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
67 dihatexv.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑈)
6867, 13lspsn0 18775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
6965, 66, 683syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
7064, 69eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{𝑥}) = { 0 })
71 simp2 1054 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
7259, 8, 12, 11, 67dih0 35383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
7365, 1, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
7470, 71, 733eqtr4d 2653 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
7565, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 dihatexv.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄𝐵)
7765, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑄𝐵)
7865, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
79 hlop 33463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
805, 59op0cl 33285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
825, 8, 12dih11 35368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵 ∧ (0.‘𝐾) ∈ 𝐵) → ((𝐼𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8375, 77, 81, 82syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → ((𝐼𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8474, 83mpbid 220 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑄 = (0.‘𝐾))
85843expia 1258 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 = 0𝑄 = (0.‘𝐾)))
8685necon3d 2802 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑄 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑥0 ))
8761, 86mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥0 )
8887ex 448 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑥0 ))
8988ancrd 574 . . . . . 6 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
9089reximdva 2999 . . . . 5 ((𝜑𝑄𝐴) → (∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
9153, 90mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑄𝐴) → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
9291ex 448 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
931ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9476ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄𝐵)
955, 8, 12dihcnvid1 35375 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = 𝑄)
9693, 94, 95syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = 𝑄)
97 fveq2 6088 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
9897ad2antll 760 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
9996, 98eqtr3d 2645 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
10066ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑈 ∈ LMod)
101 simplr 787 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑥𝑉)
102 simprl 789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑥0 )
103 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
10421, 13, 67, 103lsatlspsn2 33093 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉𝑥0 ) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
105100, 101, 102, 104syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
1067, 8, 11, 12, 103dihlatat 35440 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ 𝐴)
10793, 105, 106syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ 𝐴)
10899, 107eqeltrd 2687 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄𝐴)
109108ex 448 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄𝐴))
110109rexlimdva 3012 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄𝐴))
11192, 110impbid 200 . 2 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
112 rexdifsn 4263 . 2 (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
113111, 112syl6bbr 276 1 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  cdif 3536  {csn 4124  cop 4130   class class class wbr 4577  cmpt 4637   I cid 4938  ccnv 5027  cres 5030  cfv 5790  crio 6488  Basecbs 15641  lecple 15721  occoc 15722  0gc0g 15869  0.cp0 16806  LModclmod 18632  LSpanclspn 18738  LSAtomsclsa 33075  OPcops 33273  Atomscatm 33364  AtLatcal 33365  HLchlt 33451  LHypclh 34084  LTrncltrn 34201  TEndoctendo 34854  DVecHcdvh 35181  DIsoHcdih 35331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-0g 15871  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-lsm 17820  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870  df-lsatoms 33077  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-lplanes 33599  df-lvols 33600  df-lines 33601  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-lhyp 34088  df-laut 34089  df-ldil 34204  df-ltrn 34205  df-trl 34260  df-tendo 34857  df-edring 34859  df-disoa 35132  df-dvech 35182  df-dib 35242  df-dic 35276  df-dih 35332
This theorem is referenced by:  dihatexv2  35442
  Copyright terms: Public domain W3C validator