Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihatexv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihatexv 36944
Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatexv.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihatexv.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatexv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatexv.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihatexv.o 0 = (0g𝑈)
dihatexv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihatexv.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihatexv.q (𝜑𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
dihatexv (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dihatexv
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihatexv.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄𝐴)
4 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
5 dihatexv.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 dihatexv.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dihatexv.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 eqid 2651 . . . . . . . . 9 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
11 dihatexv.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 dihatexv.i . . . . . . . . 9 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13 dihatexv.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dih1dimb2 36847 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
152, 3, 4, 14syl12anc 1364 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
161ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
18 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
195, 8, 9, 18, 10tendo0cl 36395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21 dihatexv.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑈)
228, 9, 18, 11, 21dvhelvbasei 36694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉)
2316, 17, 20, 22syl12anc 1364 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉)
24 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → {𝑥} = {⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})
2524fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩}))
2625eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
2726rspcev 3340 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
2823, 27sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
2928ex 449 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩}) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
3029adantld 482 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
3130rexlimdva 3060 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
3215, 31mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
331ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
34 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
356, 7, 8, 34lhpocnel2 35623 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
37 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄𝐴)
38 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
39 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
406, 7, 8, 9, 39ltrniotacl 36184 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
4133, 36, 37, 38, 40syl112anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
428, 9, 18tendoidcl 36374 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
4333, 42syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
448, 9, 18, 11, 21dvhelvbasei 36694 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉)
4533, 41, 43, 44syl12anc 1364 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉)
466, 7, 8, 34, 9, 12, 11, 13, 39dih1dimc 36848 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
4733, 37, 38, 46syl12anc 1364 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
48 sneq 4220 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → {𝑥} = {⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})
4948fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
5049eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})))
5150rspcev 3340 . . . . . . 7 ((⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
5245, 47, 51syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
5332, 52pm2.61dan 849 . . . . 5 ((𝜑𝑄𝐴) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
541simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ HL)
5554ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝐾 ∈ HL)
56 hlatl 34965 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝐾 ∈ AtLat)
58 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄𝐴)
59 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6059, 7atn0 34913 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
6157, 58, 60syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
62 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → {𝑥} = { 0 })
6362fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{ 0 }))
64633ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{ 0 }))
65 simp1ll 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝜑)
668, 11, 1dvhlmod 36716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
67 dihatexv.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑈)
6867, 13lspsn0 19056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
6965, 66, 683syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
7064, 69eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{𝑥}) = { 0 })
71 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
7259, 8, 12, 11, 67dih0 36886 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
7365, 1, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
7470, 71, 733eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
7565, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 dihatexv.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄𝐵)
7765, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑄𝐵)
7865, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
79 hlop 34967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
805, 59op0cl 34789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
825, 8, 12dih11 36871 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵 ∧ (0.‘𝐾) ∈ 𝐵) → ((𝐼𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8375, 77, 81, 82syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → ((𝐼𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8474, 83mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑄 = (0.‘𝐾))
85843expia 1286 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 = 0𝑄 = (0.‘𝐾)))
8685necon3d 2844 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑄 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑥0 ))
8761, 86mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥0 )
8887ex 449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑥0 ))
8988ancrd 576 . . . . . 6 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
9089reximdva 3046 . . . . 5 ((𝜑𝑄𝐴) → (∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
9153, 90mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑄𝐴) → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
9291ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
931ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9476ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄𝐵)
955, 8, 12dihcnvid1 36878 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = 𝑄)
9693, 94, 95syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = 𝑄)
97 fveq2 6229 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
9897ad2antll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
9996, 98eqtr3d 2687 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
10066ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑈 ∈ LMod)
101 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑥𝑉)
102 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑥0 )
103 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
10421, 13, 67, 103lsatlspsn2 34597 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉𝑥0 ) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
105100, 101, 102, 104syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
1067, 8, 11, 12, 103dihlatat 36943 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ 𝐴)
10793, 105, 106syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ 𝐴)
10899, 107eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄𝐴)
109108ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄𝐴))
110109rexlimdva 3060 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄𝐴))
11192, 110impbid 202 . 2 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
112 rexdifsn 4356 . 2 (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
113111, 112syl6bbr 278 1 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cdif 3604  {csn 4210  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052  ccnv 5142  cres 5145  cfv 5926  crio 6650  Basecbs 15904  lecple 15995  occoc 15996  0gc0g 16147  0.cp0 17084  LModclmod 18911  LSpanclspn 19019  LSAtomsclsa 34579  OPcops 34777  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  TEndoctendo 36357  DVecHcdvh 36684  DIsoHcdih 36834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835
This theorem is referenced by:  dihatexv2  36945
  Copyright terms: Public domain W3C validator