Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihf11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihf11 38283
Description: The isomorphism H for a lattice 𝐾 is a one-to-one function. Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122 line 6. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihf11.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihf11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihf11.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihf11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)

Proof of Theorem dihf11
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihf11.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihf11.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dihf11.i . . 3 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4 dihf11.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dihf11.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
61, 2, 3, 4, 5dihf11lem 38282 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:𝐵𝑆)
71, 2, 3dih11 38281 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
87biimpd 230 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
983expb 1112 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
109ralrimivva 3188 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
11 dff13 7004 . 2 (𝐼:𝐵1-1𝑆 ↔ (𝐼:𝐵𝑆 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
126, 10, 11sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wf 6344  1-1wf1 6345  cfv 6348  Basecbs 16471  LSubSpclss 19632  HLchlt 36366  LHypclh 37000  DVecHcdvh 38094  DIsoHcdih 38244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771  df-edring 37773  df-disoa 38045  df-dvech 38095  df-dib 38155  df-dic 38189  df-dih 38245
This theorem is referenced by:  dihfn  38284  dihcl  38286  dihcnvcl  38287  dihcnvid1  38288  dihcnvid2  38289  dih1dimatlem  38345  dihlspsnat  38349  dihglblem6  38356  dochocss  38382  dochnoncon  38407
  Copyright terms: Public domain W3C validator