Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglb2 36948
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglb.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglb2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihglb2.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihglb2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)})) = {𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dihglb2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ⊆ 𝐵
32a1i 11 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ⊆ 𝐵)
4 hlop 34967 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
54ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
6 dihglb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 eqid 2651 . . . . . . 7 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
86, 7op1cl 34790 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
95, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
10 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
11 dihglb.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 dihglb.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13 dihglb2.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14 dihglb2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
157, 11, 12, 13, 14dih1 36892 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
1615adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
1710, 16sseqtr4d 3675 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐼‘(1.‘𝐾)))
18 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = (1.‘𝐾) → (𝐼𝑥) = (𝐼‘(1.‘𝐾)))
1918sseq2d 3666 . . . . . 6 (𝑥 = (1.‘𝐾) → (𝑆 ⊆ (𝐼𝑥) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐼‘(1.‘𝐾))))
2019elrab 3396 . . . . 5 ((1.‘𝐾) ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ↔ ((1.‘𝐾) ∈ 𝐵𝑆 ⊆ (𝐼‘(1.‘𝐾))))
219, 17, 20sylanbrc 699 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)})
22 ne0i 3954 . . . 4 ((1.‘𝐾) ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} → {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ≠ ∅)
2321, 22syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ≠ ∅)
24 dihglb.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
256, 24, 11, 12dihglb 36947 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)})) = 𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} (𝐼𝑧))
261, 3, 23, 25syl12anc 1364 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)})) = 𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} (𝐼𝑧))
27 fvex 6239 . . . 4 (𝐼𝑧) ∈ V
2827dfiin2 4587 . . 3 𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} (𝐼𝑧) = {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)}𝑦 = (𝐼𝑧)}
296, 11, 12dihfn 36874 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
3029ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑆𝑦) → 𝐼 Fn 𝐵)
31 fvelrnb 6282 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 Fn 𝐵 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝐼𝑧) = 𝑦))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑆𝑦) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝐼𝑧) = 𝑦))
33 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝐼𝑧))
3433rexbii 3070 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝐵 (𝐼𝑧) = 𝑦 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑦 = (𝐼𝑧))
35 df-rex 2947 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝐵 𝑦 = (𝐼𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)))
3634, 35bitri 264 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐵 (𝐼𝑧) = 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)))
3732, 36syl6bb 276 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑆𝑦) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧))))
3837ex 449 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆𝑦 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)))))
3938pm5.32rd 673 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → ((𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦) ↔ (∃𝑧(𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)) ∧ 𝑆𝑦)))
40 df-rex 2947 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)}𝑦 = (𝐼𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼𝑧)))
41 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑧))
4241sseq2d 3666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑆 ⊆ (𝐼𝑥) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐼𝑧)))
4342elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ↔ (𝑧𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑧)))
4443anbi1i 731 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼𝑧)) ↔ ((𝑧𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑧)) ∧ 𝑦 = (𝐼𝑧)))
45 sseq2 3660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐼𝑧) → (𝑆𝑦𝑆 ⊆ (𝐼𝑧)))
4645anbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐼𝑧) → ((𝑧𝐵𝑆𝑦) ↔ (𝑧𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑧))))
4746pm5.32ri 671 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐵𝑆𝑦) ∧ 𝑦 = (𝐼𝑧)) ↔ ((𝑧𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑧)) ∧ 𝑦 = (𝐼𝑧)))
48 an32 856 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐵𝑆𝑦) ∧ 𝑦 = (𝐼𝑧)) ↔ ((𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)) ∧ 𝑆𝑦))
4944, 47, 483bitr2i 288 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼𝑧)) ↔ ((𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)) ∧ 𝑆𝑦))
5049exbii 1814 . . . . . . . 8 (∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼𝑧)) ↔ ∃𝑧((𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)) ∧ 𝑆𝑦))
51 19.41v 1917 . . . . . . . 8 (∃𝑧((𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)) ∧ 𝑆𝑦) ↔ (∃𝑧(𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)) ∧ 𝑆𝑦))
5240, 50, 513bitrri 287 . . . . . . 7 ((∃𝑧(𝑧𝐵𝑦 = (𝐼𝑧)) ∧ 𝑆𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)}𝑦 = (𝐼𝑧))
5339, 52syl6rbb 277 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → (∃𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)}𝑦 = (𝐼𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦)))
5453abbidv 2770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)}𝑦 = (𝐼𝑧)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦)})
55 df-rab 2950 . . . . 5 {𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦)}
5654, 55syl6eqr 2703 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)}𝑦 = (𝐼𝑧)} = {𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦})
5756inteqd 4512 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)}𝑦 = (𝐼𝑧)} = {𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦})
5828, 57syl5eq 2697 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → 𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)} (𝐼𝑧) = {𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦})
5926, 58eqtrd 2685 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥𝐵𝑆 ⊆ (𝐼𝑥)})) = {𝑦 ∈ ran 𝐼𝑆𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   cint 4507   ciin 4553  ran crn 5144   Fn wfn 5921  cfv 5926  Basecbs 15904  glbcglb 16990  1.cp1 17085  OPcops 34777  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  DIsoHcdih 36834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835
This theorem is referenced by:  dochval2  36958
  Copyright terms: Public domain W3C validator