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Theorem dihglbcpreN 36408
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglbc.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglbc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglbc.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglbc.l = (le‘𝐾)
dihglbcpre.j = (join‘𝐾)
dihglbcpre.m = (meet‘𝐾)
dihglbcpre.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglbcpre.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.f 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,   𝑔,𝑞,𝑥,   𝑥,   𝐴,𝑔,𝑞,𝑥   𝐵,𝑞,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝑔,𝐻,𝑞,𝑥   𝐼,𝑞   𝑔,𝐾,𝑞,𝑥   𝑃,𝑔   𝑥,𝑅   𝑆,𝑞,𝑥   𝑇,𝑔,𝑥   𝑔,𝑊,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑥,𝑞)   𝑅(𝑔,𝑞)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑞)   𝐸(𝑔,𝑞)   𝐹(𝑔,𝑞)   𝐺(𝑔)   𝐼(𝑥,𝑔)   (𝑔,𝑞)   (𝑔)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dihglbc.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dihvalrel 36387 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
433ad2ant1 1080 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
5 simp2r 1086 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆 ≠ ∅)
6 n0 3923 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
75, 6sylib 208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
8 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
9 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
101, 2dihvalrel 36387 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑥))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → Rel (𝐼𝑥))
128, 11jca 554 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1312ex 450 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
1413eximdv 1844 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
157, 14mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
16 df-rex 2915 . . . 4 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1715, 16sylibr 224 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥))
18 reliin 5230 . . 3 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1917, 18syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
20 id 22 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊))
21 simp1 1059 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 simp1l 1083 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
23 hlclat 34464 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
25 simp2l 1085 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
26 dihglbc.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
27 dihglbc.g . . . . . . 7 𝐺 = (glb‘𝐾)
2826, 27clatglbcl 17095 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
2924, 25, 28syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
30 simp3 1061 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
31 dihglbc.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
32 dihglbcpre.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
33 dihglbcpre.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
34 dihglbcpre.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 35129 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
3621, 29, 30, 35syl12anc 1322 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
37 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3829adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
39 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
40 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
46 vex 3198 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
47 vex 3198 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 36357 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1329 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
50 simpl2r 1113 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
51 r19.28zv 4057 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
53 simp11 1089 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
54 simp12l 1172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆𝐵)
55 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5654, 55sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
57 simp13 1091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
58 simp11l 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5958, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
6026, 31, 27clatglble 17106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
6159, 54, 55, 60syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
62 hllat 34469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
64293ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
65 simp11r 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐻)
6626, 1lhpbase 35103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐵)
6826, 31lattr 17037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑥𝐵𝑊𝐵)) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
6963, 64, 56, 67, 68syl13anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
7061, 69mpand 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊 → (𝐺𝑆) 𝑊))
7157, 70mtod 189 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 𝑊)
72 simp2l 1085 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
73 simp2ll 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐴)
7426, 34atbase 34395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐵)
7626, 33latmcl 17033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7763, 64, 67, 76syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7826, 31, 32latlej1 17041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞𝐵 ∧ ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
7963, 75, 77, 78syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
80 simp2r 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))
8179, 80breqtrd 4670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝐺𝑆))
8226, 31, 63, 75, 64, 56, 81, 61lattrd 17039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 𝑥)
8326, 31, 32, 33, 34atmod3i1 34969 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑥𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑞 𝑥) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
8458, 73, 56, 67, 82, 83syl131anc 1337 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
85 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8631, 32, 85, 34, 1lhpjat2 35126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8753, 72, 86syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8887oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (𝑞 𝑊)) = (𝑥 (1.‘𝐾)))
89 hlol 34467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
9058, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ OL)
9126, 33, 85olm11 34333 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9290, 56, 91syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9384, 88, 923eqtrd 2658 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)
9426, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 36357 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9553, 56, 71, 72, 93, 94syl122anc 1333 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
96953expa 1263 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9796ralbidva 2982 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
98 simp11l 1170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ HL)
9998, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ CLat)
100 simp11 1089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
101 simp3l 1087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑓𝑇)
102 simp3r 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑠𝐸)
10331, 34, 1, 41lhpocnel2 35124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
104100, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
105 simp2l 1085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
10631, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 35686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐹𝑇)
107100, 104, 105, 106syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐹𝑇)
1081, 42, 44tendocl 35874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
109100, 102, 107, 108syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1101, 42ltrncnv 35251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
111100, 109, 110syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1121, 42ltrnco 35826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇(𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
113100, 101, 111, 112syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
11426, 1, 42, 43trlcl 35270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
115100, 113, 114syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
116 simp12l 1172 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑆𝐵)
11726, 31, 27clatleglb 17107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵𝑆𝐵) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
11899, 115, 116, 117syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
1191183expa 1263 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
120119pm5.32da 672 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
12152, 97, 1203bitr4rd 301 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
122 opex 4923 . . . . . . . . . 10 𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
123 eliin 4516 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥))
125121, 124syl6bbr 278 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
12649, 125bitrd 268 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
127126exp44 640 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))))
128127imp4a 613 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))))
129128rexlimdv 3026 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))
13036, 129mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
131130eqrelrdv2 5209 . 2 (((Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∧ Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1324, 19, 20, 131syl21anc 1323 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  wss 3567  c0 3907  cop 4174   ciin 4512   class class class wbr 4644  ccnv 5103  ccom 5108  Rel wrel 5109  cfv 5876  crio 6595  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  lecple 15929  occoc 15930  glbcglb 16924  joincjn 16925  meetcmee 16926  1.cp1 17019  Latclat 17026  CLatccla 17088  OLcol 34280  Atomscatm 34369  HLchlt 34456  LHypclh 35089  LTrncltrn 35206  trLctrl 35264  TEndoctendo 35859  DIsoHcdih 36336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-riotaBAD 34058
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-undef 7384  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-0g 16083  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-lsm 18032  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-drng 18730  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-lvec 19084  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605  df-lines 34606  df-psubsp 34608  df-pmap 34609  df-padd 34901  df-lhyp 35093  df-laut 35094  df-ldil 35209  df-ltrn 35210  df-trl 35265  df-tendo 35862  df-edring 35864  df-disoa 36137  df-dvech 36187  df-dib 36247  df-dic 36281  df-dih 36337
This theorem is referenced by:  dihglbcN  36409
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