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Theorem dihglblem2N 35395
Description: The GLB of a set of lattice elements 𝑆 is the same as that of the set 𝑇 with elements of 𝑆 cut down to be under 𝑊. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
Assertion
Ref Expression
dihglblem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢)   𝐻(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)   (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2N
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihglblem.l . 2 = (le‘𝐾)
3 dihglblem.g . 2 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 simpl1l 1105 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5 hllat 33462 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
64, 5syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simp1l 1078 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
8 hlclat 33457 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
10 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
11 ssrab2 3650 . . . . . 6 {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ⊆ 𝐵
1210, 11eqsstri 3598 . . . . 5 𝑇𝐵
131, 3clatglbcl 16886 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
149, 12, 13sylancl 693 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
1514adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
16 simpl2 1058 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆𝐵)
17 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
1816, 17sseldd 3569 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
19 simpl1r 1106 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐻)
20 dihglblem.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
211, 20lhpbase 34096 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2219, 21syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐵)
23 dihglblem.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
241, 23latmcl 16824 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑊𝐵) → (𝑥 𝑊) ∈ 𝐵)
256, 18, 22, 24syl3anc 1318 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) ∈ 𝐵)
264, 8syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
27 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) = (𝑥 𝑊))
28 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 𝑊) = (𝑥 𝑊))
2928eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊) ↔ (𝑥 𝑊) = (𝑥 𝑊)))
3029rspcev 3282 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆 ∧ (𝑥 𝑊) = (𝑥 𝑊)) → ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊))
3117, 27, 30syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊))
32 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑥 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
3332rexbidv 3034 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑥 𝑊) → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
3433elrab 3331 . . . . . 6 ((𝑥 𝑊) ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ↔ ((𝑥 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
3525, 31, 34sylanbrc 695 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)})
3635, 10syl6eleqr 2699 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) ∈ 𝑇)
371, 2, 3clatglble 16897 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵 ∧ (𝑥 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺𝑇) (𝑥 𝑊))
3812, 37mp3an2 1404 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑥 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺𝑇) (𝑥 𝑊))
3926, 36, 38syl2anc 691 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑇) (𝑥 𝑊))
401, 2, 23latmle1 16848 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑊𝐵) → (𝑥 𝑊) 𝑥)
416, 18, 22, 40syl3anc 1318 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) 𝑥)
421, 2, 6, 15, 25, 18, 39, 41lattrd 16830 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑇) 𝑥)
43 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑣 𝑊)))
4443rexbidv 3034 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑣𝑆 𝑤 = (𝑣 𝑊)))
45 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 𝑊) = (𝑦 𝑊))
4645eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (𝑤 = (𝑣 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑦 𝑊)))
4746cbvrexv 3148 . . . . . . 7 (∃𝑣𝑆 𝑤 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊))
4844, 47syl6bb 275 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊)))
4948, 10elrab2 3333 . . . . 5 (𝑤𝑇 ↔ (𝑤𝐵 ∧ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊)))
50 simp3 1056 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
51 simp13 1086 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥)
52 breq2 4582 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 𝑥𝑧 𝑦))
5352rspcva 3280 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑧 𝑦)
5450, 51, 53syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 𝑦)
55 simp11l 1165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝐾 ∈ HL)
56553ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5756, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
58 simp12 1085 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧𝐵)
5956, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
60 simp112 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑆𝐵)
611, 3clatglbcl 16886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
6259, 60, 61syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
63 simp11r 1166 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑊𝐻)
64633ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑊𝐻)
6564, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑊𝐵)
661, 2, 3clatleglb 16898 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧𝐵𝑆𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥))
6759, 58, 60, 66syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥))
6851, 67mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 (𝐺𝑆))
69 simp113 1185 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑊)
701, 2, 57, 58, 62, 65, 68, 69lattrd 16830 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 𝑊)
7160, 50sseldd 3569 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
721, 2, 23latlem12 16850 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧𝐵𝑦𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑧 𝑦𝑧 𝑊) ↔ 𝑧 (𝑦 𝑊)))
7357, 58, 71, 65, 72syl13anc 1320 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → ((𝑧 𝑦𝑧 𝑊) ↔ 𝑧 (𝑦 𝑊)))
7454, 70, 73mpbi2and 958 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 (𝑦 𝑊))
75743expia 1259 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦𝑆𝑧 (𝑦 𝑊)))
76 breq2 4582 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑦 𝑊) → (𝑧 𝑤𝑧 (𝑦 𝑊)))
7776biimprcd 239 . . . . . . . 8 (𝑧 (𝑦 𝑊) → (𝑤 = (𝑦 𝑊) → 𝑧 𝑤))
7875, 77syl6 34 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦𝑆 → (𝑤 = (𝑦 𝑊) → 𝑧 𝑤)))
7978rexlimdv 3012 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊) → 𝑧 𝑤))
8079expimpd 627 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → ((𝑤𝐵 ∧ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊)) → 𝑧 𝑤))
8149, 80syl5bi 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → (𝑤𝑇𝑧 𝑤))
8281ralrimiv 2948 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤)
8355, 8syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝐾 ∈ CLat)
84 simp2 1055 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑧𝐵)
851, 2, 3clatleglb 16898 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧𝐵𝑇𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑇) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤))
8612, 85mp3an3 1405 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑇) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤))
8783, 84, 86syl2anc 691 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → (𝑧 (𝐺𝑇) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤))
8882, 87mpbird 246 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑧 (𝐺𝑇))
89 simp2 1055 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
901, 2, 3, 42, 88, 9, 89, 14isglbd 16889 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  wss 3540   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  lecple 15724  glbcglb 16715  meetcmee 16717  Latclat 16817  CLatccla 16879  HLchlt 33449  LHypclh 34082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-poset 16718  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-lat 16818  df-clat 16880  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-lhyp 34086
This theorem is referenced by:  dihglblem3N  35396  dihglblem3aN  35397
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