Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem5 36406
 Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihglblem5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem dihglblem5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6188 . . 3 (𝐼𝑥) ∈ V
21dfiin2 4546 . 2 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)}
3 dihglblem5.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dihglblem5.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 simpl 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 36218 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → 𝑈 ∈ LMod)
7 simpll 789 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simplrl 799 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑇𝐵)
9 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
108, 9sseldd 3596 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝐵)
11 dihglblem5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 dihglblem5.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13 dihglblem5.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
1411, 3, 12, 4, 13dihlss 36358 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
157, 10, 14syl2anc 692 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
1615ralrimiva 2963 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → ∀𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
17 uniiunlem 3683 . . . . 5 (∀𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (∀𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ⊆ 𝑆))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ⊆ 𝑆))
1916, 18mpbid 222 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ⊆ 𝑆)
20 simprr 795 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
21 n0 3923 . . . . 5 (𝑇 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑇)
2220, 21sylib 208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥𝑇)
23 nfre1 3002 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)
2423nfab 2766 . . . . . 6 𝑥{𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)}
25 nfcv 2762 . . . . . 6 𝑥
2624, 25nfne 2891 . . . . 5 𝑥{𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅
271elabrex 6486 . . . . . 6 (𝑥𝑇 → (𝐼𝑥) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)})
28 ne0i 3913 . . . . . 6 ((𝐼𝑥) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝑥𝑇 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅)
3026, 29exlimi 2084 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝑇 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅)
3122, 30syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅)
3213lssintcl 18945 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ⊆ 𝑆 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ∈ 𝑆)
336, 19, 31, 32syl3anc 1324 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ∈ 𝑆)
342, 33syl5eqel 2703 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481  ∃wex 1702   ∈ wcel 1988  {cab 2606   ≠ wne 2791  ∀wral 2909  ∃wrex 2910   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907  ∩ cint 4466  ∩ ciin 4512  ‘cfv 5876  Basecbs 15838  glbcglb 16924  LModclmod 18844  LSubSpclss 18913  HLchlt 34456  LHypclh 35089  DVecHcdvh 36186  DIsoHcdih 36336 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-riotaBAD 34058 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-undef 7384  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-0g 16083  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-lsm 18032  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-drng 18730  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-lvec 19084  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605  df-lines 34606  df-psubsp 34608  df-pmap 34609  df-padd 34901  df-lhyp 35093  df-laut 35094  df-ldil 35209  df-ltrn 35210  df-trl 35265  df-tendo 35862  df-edring 35864  df-disoa 36137  df-dvech 36187  df-dib 36247  df-dic 36281  df-dih 36337 This theorem is referenced by:  dihglblem6  36448
 Copyright terms: Public domain W3C validator