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Theorem dihglblem5apreN 38309
Description: A conjunction property of isomorphism H. TODO: reduce antecedent size; general review for shorter proof. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5a.m = (meet‘𝐾)
dihglblem5a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5a.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.l = (le‘𝐾)
dihglblem5a.j = (join‘𝐾)
dihglblem5a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem5a.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
dihglblem5a.o 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihglblem5apreN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   ,𝑞,   𝐴,,𝑞   𝐵,,𝑞   ,𝐻,𝑞   𝐼,𝑞   ,𝐾,𝑞   𝑃,   𝑇,   ,𝑊,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝐸(,𝑞)   𝐺(,𝑞)   𝐼()   (,𝑞)   ()   𝑋()   0 (,𝑞)

Proof of Theorem dihglblem5apreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 36381 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simprl 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐵)
4 dihglblem5a.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 dihglblem5a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
64, 5lhpbase 37016 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
76ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑊𝐵)
8 dihglblem5a.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 dihglblem5a.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
104, 8, 9latmle1 17676 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑋)
112, 3, 7, 10syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊) 𝑋)
12 simpl 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
134, 9latmcl 17652 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
142, 3, 7, 13syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
15 dihglblem5a.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
164, 8, 5, 15dihord 38282 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑋))
1712, 14, 3, 16syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑋))
1811, 17mpbird 258 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑋))
194, 8, 9latmle2 17677 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
202, 3, 7, 19syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
214, 8, 5, 15dihord 38282 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑊) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑊))
2212, 14, 7, 21syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑊) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑊))
2320, 22mpbird 258 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑊))
2418, 23ssind 4208 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
255, 15dihvalrel 38297 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑋))
26 relin1 5679 . . . . 5 (Rel (𝐼𝑋) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
2827adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
29 elin 4168 . . . 4 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) ↔ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)))
30 dihglblem5a.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
31 dihglblem5a.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
324, 8, 30, 9, 31, 5lhpmcvr2 37042 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
33 dihglblem5a.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
34 dihglblem5a.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
35 dihglblem5a.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
36 dihglblem5a.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
37 dihglblem5a.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
38 vex 3498 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
39 vex 3498 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ∈ V
404, 8, 30, 9, 31, 5, 33, 34, 35, 36, 15, 37, 38, 39dihopelvalc 38267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
426adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊𝐵)
434, 8latref 17653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊𝐵) → 𝑊 𝑊)
441, 6, 43syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 𝑊)
45 dihglblem5a.o . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
464, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 38256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑊𝐵𝑊 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))
4741, 42, 44, 46syl12anc 832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))
48473ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))
4940, 48anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) ↔ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))))
50 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )) → 𝑓𝑇)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓𝑇)
52 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑠 = 0 )
5352fveq1d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( 0𝐺))
54 simpl1 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
558, 31, 5, 33lhpocnel2 37037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
57 simpl3l 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
588, 31, 5, 34, 37ltrniotacl 37597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐺𝑇)
5954, 56, 57, 58syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐺𝑇)
6045, 4tendo02 37805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺𝑇 → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6253, 61eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6362cnveqd 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
64 cnvresid 6427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
6563, 64syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6665coeq2d 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
674, 5, 34ltrn1o 37142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
6854, 51, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
69 f1of 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵𝑓:𝐵𝐵)
70 fcoi1 6546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐵𝐵 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7266, 71eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = 𝑓)
7372fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) = (𝑅𝑓))
74 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)
7573, 74eqbrtrrd 5082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑋)
768, 5, 34, 35trlle 37202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) 𝑊)
7754, 51, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑊)
78 simpl1l 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ HL)
7978hllatd 36382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ Lat)
804, 5, 34, 35trlcl 37182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
8154, 51, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
82 simpl2l 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑋𝐵)
83 simpl1r 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐻)
8483, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐵)
854, 8, 9latlem12 17678 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝑓) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑊𝐵)) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
8679, 81, 82, 84, 85syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
8775, 77, 86mpbi2and 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))
8851, 87jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
8979, 82, 84, 13syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
9079, 82, 84, 19syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
914, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 38256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑠 = 0 )))
9254, 89, 90, 91syl12anc 832 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑠 = 0 )))
9388, 52, 92mpbir2and 709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
9493ex 413 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
9549, 94sylbid 241 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
96953expia 1113 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
9796exp4c 433 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑞𝐴 → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))))
9897imp4a 423 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))))
9998rexlimdv 3283 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
10032, 99mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
10129, 100syl5bi 243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
10228, 101relssdv 5655 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
10324, 102eqssd 3983 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3139  cin 3934  wss 3935  cop 4565   class class class wbr 5058  cmpt 5138   I cid 5453  ccnv 5548  cres 5551  ccom 5553  Rel wrel 5554  wf 6345  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  lecple 16562  occoc 16563  joincjn 17544  meetcmee 17545  Latclat 17645  Atomscatm 36281  HLchlt 36368  LHypclh 37002  LTrncltrn 37119  trLctrl 37176  TEndoctendo 37770  DIsoHcdih 38246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 35971
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-undef 7930  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-0g 16705  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-subg 18216  df-cntz 18387  df-lsm 18692  df-cmn 18839  df-abl 18840  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-oppr 19304  df-dvdsr 19322  df-unit 19323  df-invr 19353  df-dvr 19364  df-drng 19435  df-lmod 19567  df-lss 19635  df-lsp 19675  df-lvec 19806  df-oposet 36194  df-ol 36196  df-oml 36197  df-covers 36284  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369  df-llines 36516  df-lplanes 36517  df-lvols 36518  df-lines 36519  df-psubsp 36521  df-pmap 36522  df-padd 36814  df-lhyp 37006  df-laut 37007  df-ldil 37122  df-ltrn 37123  df-trl 37177  df-tendo 37773  df-edring 37775  df-disoa 38047  df-dvech 38097  df-dib 38157  df-dic 38191  df-dih 38247
This theorem is referenced by:  dihglblem5aN  38310
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