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Theorem dihglblem5apreN 36099
Description: A conjunction property of isomorphism H. TODO: reduce antecedent size; general review for shorter proof. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5a.m = (meet‘𝐾)
dihglblem5a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5a.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.l = (le‘𝐾)
dihglblem5a.j = (join‘𝐾)
dihglblem5a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem5a.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
dihglblem5a.o 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihglblem5apreN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   ,𝑞,   𝐴,,𝑞   𝐵,,𝑞   ,𝐻,𝑞   𝐼,𝑞   ,𝐾,𝑞   𝑃,   𝑇,   ,𝑊,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝐸(,𝑞)   𝐺(,𝑞)   𝐼()   (,𝑞)   ()   𝑋()   0 (,𝑞)

Proof of Theorem dihglblem5apreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 34169 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simprl 793 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐵)
4 dihglblem5a.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 dihglblem5a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
64, 5lhpbase 34803 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
76ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑊𝐵)
8 dihglblem5a.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 dihglblem5a.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
104, 8, 9latmle1 17016 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑋)
112, 3, 7, 10syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊) 𝑋)
12 simpl 473 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
134, 9latmcl 16992 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
142, 3, 7, 13syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
15 dihglblem5a.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
164, 8, 5, 15dihord 36072 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑋))
1712, 14, 3, 16syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑋))
1811, 17mpbird 247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑋))
194, 8, 9latmle2 17017 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
202, 3, 7, 19syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
214, 8, 5, 15dihord 36072 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑊) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑊))
2212, 14, 7, 21syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑊) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑊))
2320, 22mpbird 247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑊))
2418, 23ssind 3821 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
255, 15dihvalrel 36087 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑋))
26 relin1 5207 . . . . 5 (Rel (𝐼𝑋) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
2827adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
29 elin 3780 . . . 4 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) ↔ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)))
30 dihglblem5a.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
31 dihglblem5a.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
324, 8, 30, 9, 31, 5lhpmcvr2 34829 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
33 dihglblem5a.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
34 dihglblem5a.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
35 dihglblem5a.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
36 dihglblem5a.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
37 dihglblem5a.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
38 vex 3193 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
39 vex 3193 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ∈ V
404, 8, 30, 9, 31, 5, 33, 34, 35, 36, 15, 37, 38, 39dihopelvalc 36057 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
426adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊𝐵)
434, 8latref 16993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊𝐵) → 𝑊 𝑊)
441, 6, 43syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 𝑊)
45 dihglblem5a.o . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
464, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 36046 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑊𝐵𝑊 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))
4741, 42, 44, 46syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))
48473ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))
4940, 48anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) ↔ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))))
50 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )) → 𝑓𝑇)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓𝑇)
52 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑠 = 0 )
5352fveq1d 6160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( 0𝐺))
54 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
558, 31, 5, 33lhpocnel2 34824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
57 simpl3l 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
588, 31, 5, 34, 37ltrniotacl 35386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐺𝑇)
5954, 56, 57, 58syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐺𝑇)
6045, 4tendo02 35594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺𝑇 → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6253, 61eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6362cnveqd 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
64 cnvresid 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
6563, 64syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6665coeq2d 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
674, 5, 34ltrn1o 34929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
6854, 51, 67syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
69 f1of 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵𝑓:𝐵𝐵)
70 fcoi1 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐵𝐵 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7266, 71eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = 𝑓)
7372fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) = (𝑅𝑓))
74 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)
7573, 74eqbrtrrd 4647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑋)
768, 5, 34, 35trlle 34990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) 𝑊)
7754, 51, 76syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑊)
78 simpl1l 1110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ HL)
7978, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ Lat)
804, 5, 34, 35trlcl 34970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
8154, 51, 80syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
82 simpl2l 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑋𝐵)
83 simpl1r 1111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐻)
8483, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐵)
854, 8, 9latlem12 17018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝑓) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑊𝐵)) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
8679, 81, 82, 84, 85syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
8775, 77, 86mpbi2and 955 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))
8851, 87jca 554 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
8979, 82, 84, 13syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
9079, 82, 84, 19syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
914, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 36046 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑠 = 0 )))
9254, 89, 90, 91syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑠 = 0 )))
9388, 52, 92mpbir2and 956 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
9493ex 450 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
9549, 94sylbid 230 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
96953expia 1264 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
9796exp4c 635 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑞𝐴 → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))))
9897imp4a 613 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))))
9998rexlimdv 3025 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
10032, 99mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
10129, 100syl5bi 232 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
10228, 101relssdv 5183 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
10324, 102eqssd 3605 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909  cin 3559  wss 3560  cop 4161   class class class wbr 4623  cmpt 4683   I cid 4994  ccnv 5083  cres 5086  ccom 5088  Rel wrel 5089  wf 5853  1-1-ontowf1o 5856  cfv 5857  crio 6575  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  lecple 15888  occoc 15889  joincjn 16884  meetcmee 16885  Latclat 16985  Atomscatm 34069  HLchlt 34156  LHypclh 34789  LTrncltrn 34906  trLctrl 34964  TEndoctendo 35559  DIsoHcdih 36036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-riotaBAD 33758
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-undef 7359  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-0g 16042  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-clat 17048  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-lsm 17991  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-drng 18689  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-lvec 19043  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34965  df-tendo 35562  df-edring 35564  df-disoa 35837  df-dvech 35887  df-dib 35947  df-dic 35981  df-dih 36037
This theorem is referenced by:  dihglblem5aN  36100
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