Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5apreN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem5apreN 35398
Description: A conjunction property of isomorphism H. TODO: reduce antecedent size; general review for shorter proof. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5a.m = (meet‘𝐾)
dihglblem5a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5a.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.l = (le‘𝐾)
dihglblem5a.j = (join‘𝐾)
dihglblem5a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem5a.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
dihglblem5a.o 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihglblem5apreN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   ,𝑞,   𝐴,,𝑞   𝐵,,𝑞   ,𝐻,𝑞   𝐼,𝑞   ,𝐾,𝑞   𝑃,   𝑇,   ,𝑊,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝐸(,𝑞)   𝐺(,𝑞)   𝐼()   (,𝑞)   ()   𝑋()   0 (,𝑞)

Proof of Theorem dihglblem5apreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 33468 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simprl 789 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐵)
4 dihglblem5a.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 dihglblem5a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
64, 5lhpbase 34102 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
76ad2antlr 758 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑊𝐵)
8 dihglblem5a.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 dihglblem5a.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
104, 8, 9latmle1 16842 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑋)
112, 3, 7, 10syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊) 𝑋)
12 simpl 471 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
134, 9latmcl 16818 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
142, 3, 7, 13syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
15 dihglblem5a.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
164, 8, 5, 15dihord 35371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑋))
1712, 14, 3, 16syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑋))
1811, 17mpbird 245 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑋))
194, 8, 9latmle2 16843 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
202, 3, 7, 19syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
214, 8, 5, 15dihord 35371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑊) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑊))
2212, 14, 7, 21syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑊) ↔ (𝑋 𝑊) 𝑊))
2320, 22mpbird 245 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑊))
2418, 23ssind 3795 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
255, 15dihvalrel 35386 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑋))
26 relin1 5145 . . . . 5 (Rel (𝐼𝑋) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
2827adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
29 elin 3754 . . . 4 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) ↔ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)))
30 dihglblem5a.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
31 dihglblem5a.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
324, 8, 30, 9, 31, 5lhpmcvr2 34128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
33 dihglblem5a.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
34 dihglblem5a.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
35 dihglblem5a.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
36 dihglblem5a.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
37 dihglblem5a.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
38 vex 3172 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
39 vex 3172 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ∈ V
404, 8, 30, 9, 31, 5, 33, 34, 35, 36, 15, 37, 38, 39dihopelvalc 35356 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
426adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊𝐵)
434, 8latref 16819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊𝐵) → 𝑊 𝑊)
441, 6, 43syl2an 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 𝑊)
45 dihglblem5a.o . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
464, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 35345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑊𝐵𝑊 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))
4741, 42, 44, 46syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))
48473ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )))
4940, 48anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) ↔ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))))
50 simprll 797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )) → 𝑓𝑇)
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓𝑇)
52 simprrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑠 = 0 )
5352fveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( 0𝐺))
54 simpl1 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
558, 31, 5, 33lhpocnel2 34123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
57 simpl3l 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
588, 31, 5, 34, 37ltrniotacl 34685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐺𝑇)
5954, 56, 57, 58syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐺𝑇)
6045, 4tendo02 34893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺𝑇 → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6253, 61eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6362cnveqd 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
64 cnvresid 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
6563, 64syl6eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6665coeq2d 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
674, 5, 34ltrn1o 34228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
6854, 51, 67syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
69 f1of 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵𝑓:𝐵𝐵)
70 fcoi1 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐵𝐵 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7266, 71eqtrd 2640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = 𝑓)
7372fveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) = (𝑅𝑓))
74 simprlr 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)
7573, 74eqbrtrrd 4598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑋)
768, 5, 34, 35trlle 34289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) 𝑊)
7754, 51, 76syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑊)
78 simpl1l 1104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ HL)
7978, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ Lat)
804, 5, 34, 35trlcl 34269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
8154, 51, 80syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
82 simpl2l 1106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑋𝐵)
83 simpl1r 1105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐻)
8483, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐵)
854, 8, 9latlem12 16844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝑓) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑊𝐵)) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
8679, 81, 82, 84, 85syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
8775, 77, 86mpbi2and 957 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))
8851, 87jca 552 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
8979, 82, 84, 13syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
9079, 82, 84, 19syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
914, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 35345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑠 = 0 )))
9254, 89, 90, 91syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑠 = 0 )))
9388, 52, 92mpbir2and 958 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
9493ex 448 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊) ∧ 𝑠 = 0 )) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
9549, 94sylbid 228 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
96953expia 1258 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
9796exp4c 633 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑞𝐴 → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))))
9897imp4a 611 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))))
9998rexlimdv 3008 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
10032, 99mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
10129, 100syl5bi 230 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
10228, 101relssdv 5121 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
10324, 102eqssd 3581 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2893  cin 3535  wss 3536  cop 4127   class class class wbr 4574  cmpt 4634   I cid 4935  ccnv 5024  cres 5027  ccom 5029  Rel wrel 5030  wf 5783  1-1-ontowf1o 5786  cfv 5787  crio 6485  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  lecple 15718  occoc 15719  joincjn 16710  meetcmee 16711  Latclat 16811  Atomscatm 33368  HLchlt 33455  LHypclh 34088  LTrncltrn 34205  trLctrl 34263  TEndoctendo 34858  DIsoHcdih 35335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-riotaBAD 33057
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-tpos 7213  df-undef 7260  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-0g 15868  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-p1 16806  df-lat 16812  df-clat 16874  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-subg 17357  df-cntz 17516  df-lsm 17817  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-oppr 18389  df-dvdsr 18407  df-unit 18408  df-invr 18438  df-dvr 18449  df-drng 18515  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-lsp 18736  df-lvec 18867  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-llines 33602  df-lplanes 33603  df-lvols 33604  df-lines 33605  df-psubsp 33607  df-pmap 33608  df-padd 33900  df-lhyp 34092  df-laut 34093  df-ldil 34208  df-ltrn 34209  df-trl 34264  df-tendo 34861  df-edring 34863  df-disoa 35136  df-dvech 35186  df-dib 35246  df-dic 35280  df-dih 35336
This theorem is referenced by:  dihglblem5aN  35399
  Copyright terms: Public domain W3C validator