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Theorem dihmeetlem1N 36896
 Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5a.m = (meet‘𝐾)
dihglblem5a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5a.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.l = (le‘𝐾)
dihglblem5a.j = (join‘𝐾)
dihglblem5a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem5a.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5a.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
dihglblem5a.o 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   ,𝑞,   𝐴,,𝑞   𝐵,,𝑞   ,𝐻,𝑞   𝐼,𝑞   ,𝐾,𝑞   𝑃,   𝑇,   ,𝑊,𝑞   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝐸(,𝑞)   𝐺(,𝑞)   𝐼()   (,𝑞)   ()   𝑋()   𝑌()   0 (,𝑞)

Proof of Theorem dihmeetlem1N
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1105 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 34968 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2l 1107 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋𝐵)
5 simp3l 1109 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌𝐵)
6 dihglblem5a.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 dihglblem5a.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
8 dihglblem5a.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
96, 7, 8latmle1 17123 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
103, 4, 5, 9syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
11 simp1 1081 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
126, 8latmcl 17099 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
133, 4, 5, 12syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
14 dihglblem5a.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 dihglblem5a.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
166, 7, 14, 15dihord 36870 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑋))
1711, 13, 4, 16syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑋))
1810, 17mpbird 247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑋))
196, 7, 8latmle2 17124 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
203, 4, 5, 19syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
216, 7, 14, 15dihord 36870 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
2211, 13, 5, 21syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
2320, 22mpbird 247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (𝐼𝑌))
2418, 23ssind 3870 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ⊆ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2514, 15dihvalrel 36885 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑋))
26 relin1 5269 . . . . 5 (Rel (𝐼𝑋) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
28273ad2ant1 1102 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → Rel ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
29 elin 3829 . . . 4 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)) ↔ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌)))
30 dihglblem5a.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
31 dihglblem5a.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
326, 7, 30, 8, 31, 14lhpmcvr2 35628 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
33323adant3 1101 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
34 simpl1 1084 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
35 simpl2 1085 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊))
36 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → 𝑞𝐴)
37 simprrl 821 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → ¬ 𝑞 𝑊)
3836, 37jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
39 simprrr 822 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
40 dihglblem5a.p . . . . . . . . 9 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
41 dihglblem5a.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
42 dihglblem5a.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
43 dihglblem5a.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
44 dihglblem5a.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
45 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
46 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
476, 7, 30, 8, 31, 14, 40, 41, 42, 43, 15, 44, 45, 46dihopelvalc 36855 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)))
4834, 35, 38, 39, 47syl112anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)))
49 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)
5048, 49syl6bi 243 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋))
51 simpl3 1086 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑌𝐵𝑌 𝑊))
52 dihglblem5a.o . . . . . . . . 9 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
536, 7, 14, 41, 42, 52, 15dihopelvalbN 36844 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )))
5434, 51, 53syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )))
5554biimpd 219 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌) → ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )))
56 simprll 819 . . . . . . . . . 10 (((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )) → 𝑓𝑇)
57563ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓𝑇)
58 simp3rr 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑠 = 0 )
5958fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( 0𝐺))
60 simp11 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
617, 31, 14, 40lhpocnel2 35623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
63 simp2l 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑞𝐴)
64 simp2rl 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ¬ 𝑞 𝑊)
657, 31, 14, 41, 44ltrniotacl 36184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐺𝑇)
6660, 62, 63, 64, 65syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐺𝑇)
6752, 6tendo02 36392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝑇 → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ( 0𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
6959, 68eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
7069cnveqd 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
71 cnvresid 6006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
7270, 71syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑠𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
7372coeq2d 5317 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
746, 14, 41ltrn1o 35728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
7560, 57, 74syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐵)
76 f1of 6175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵𝑓:𝐵𝐵)
77 fcoi1 6116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵𝐵 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7875, 76, 773syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑓)
7973, 78eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓(𝑠𝐺)) = 𝑓)
8079fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) = (𝑅𝑓))
81 simp3l 1109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋)
8280, 81eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑋)
83 simprlr 820 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )) → (𝑅𝑓) 𝑌)
84833ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) 𝑌)
85 simp11l 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ HL)
8685, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝐾 ∈ Lat)
876, 14, 41, 42trlcl 35769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
8860, 57, 87syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
89 simp12l 1194 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑋𝐵)
90 simp13l 1196 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑌𝐵)
916, 7, 8latlem12 17125 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝑓) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)))
9286, 88, 89, 90, 91syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (((𝑅𝑓) 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ↔ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)))
9382, 84, 92mpbi2and 976 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌))
9457, 93jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)))
9586, 89, 90, 12syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
96 simp11r 1193 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐻)
976, 14lhpbase 35602 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑊𝐵)
9986, 89, 90, 19syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
100 simp13r 1197 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → 𝑌 𝑊)
1016, 7, 86, 95, 90, 98, 99, 100lattrd 17105 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (𝑋 𝑌) 𝑊)
1026, 7, 14, 41, 42, 52, 15dihopelvalbN 36844 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)) ∧ 𝑠 = 0 )))
10360, 95, 101, 102syl12anc 1364 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑌)) ∧ 𝑠 = 0 )))
10494, 58, 103mpbir2and 977 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) ∧ ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 ))) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌)))
1051043expia 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐺))) 𝑋 ∧ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) 𝑌) ∧ 𝑠 = 0 )) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌))))
10650, 55, 105syl2and 499 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌))))
10733, 106rexlimddv 3064 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌))))
10829, 107syl5bi 232 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑌))))
10928, 108relssdv 5246 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)) ⊆ (𝐼‘(𝑋 𝑌)))
11024, 109eqssd 3653 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   I cid 5052  ◡ccnv 5142   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147  Rel wrel 5148  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  ℩crio 6650  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  occoc 15996  joincjn 16991  meetcmee 16992  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763  TEndoctendo 36357  DIsoHcdih 36834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835 This theorem is referenced by:  dihmeetbN  36909
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