Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord5apre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord5apre 35367
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord5apre.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihord5apre.l = (le‘𝐾)
dihord5apre.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihord5apre.j = (join‘𝐾)
dihord5apre.m = (meet‘𝐾)
dihord5apre.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihord5apre.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihord5apre.s = (LSSum‘𝑈)
dihord5apre.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihord5apre ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → 𝑋 𝑌)

Proof of Theorem dihord5apre
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1056 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl3 1058 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊))
3 dihord5apre.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 dihord5apre.l . . . 4 = (le‘𝐾)
5 dihord5apre.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 dihord5apre.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
7 dihord5apre.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dihord5apre.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 34126 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌))
101, 2, 9syl2anc 690 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌))
11 simp11l 1164 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
12 hllat 33466 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simp12l 1166 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑋𝐵)
15 simp3ll 1124 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑟𝐴)
163, 7atbase 33392 . . . . . . . . 9 (𝑟𝐴𝑟𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑟𝐵)
183, 5latjcl 16815 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟𝐵𝑋𝐵) → (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵)
1913, 17, 14, 18syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵)
20 simp13l 1168 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑌𝐵)
213, 4, 5latlej2 16825 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟𝐵𝑋𝐵) → 𝑋 (𝑟 𝑋))
2213, 17, 14, 21syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑋 (𝑟 𝑋))
23 simp11 1083 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 simp3lr 1125 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ¬ 𝑟 𝑊)
253, 4, 5latlej1 16824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟𝐵𝑋𝐵) → 𝑟 (𝑟 𝑋))
2613, 17, 14, 25syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑟 (𝑟 𝑋))
27 simp11r 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑊𝐻)
283, 8lhpbase 34100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑊𝐵)
303, 4lattr 16820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑟 (𝑟 𝑋) ∧ (𝑟 𝑋) 𝑊) → 𝑟 𝑊))
3113, 17, 19, 29, 30syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 (𝑟 𝑋) ∧ (𝑟 𝑋) 𝑊) → 𝑟 𝑊))
3226, 31mpand 706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊𝑟 𝑊))
3324, 32mtod 187 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ¬ (𝑟 𝑋) 𝑊)
34 simp3l 1081 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊))
35 simp12 1084 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
363, 4, 5, 6, 7, 8lhple 34144 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) = 𝑋)
3723, 34, 35, 36syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) = 𝑋)
3837oveq2d 6538 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟 ((𝑟 𝑋) 𝑊)) = (𝑟 𝑋))
39 dihord5apre.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
40 eqid 2604 . . . . . . . . . . 11 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
41 eqid 2604 . . . . . . . . . . 11 ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
42 dihord5apre.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
43 dihord5apre.s . . . . . . . . . . 11 = (LSSum‘𝑈)
443, 4, 5, 6, 7, 8, 39, 40, 41, 42, 43dihvalcq 35341 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑟 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑟 𝑋) 𝑊) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 ((𝑟 𝑋) 𝑊)) = (𝑟 𝑋))) → (𝐼‘(𝑟 𝑋)) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))))
4523, 19, 33, 34, 38, 44syl122anc 1326 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼‘(𝑟 𝑋)) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))))
468, 42, 23dvhlmod 35215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑈 ∈ LMod)
47 eqid 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4847lsssssubg 18720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
504, 7, 8, 42, 41, 47diclss 35298 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5123, 34, 50syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5249, 51sseldd 3563 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (SubGrp‘𝑈))
533, 6latmcl 16816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
5413, 20, 29, 53syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
553, 4, 6latmle2 16841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) 𝑊)
5613, 20, 29, 55syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑌 𝑊) 𝑊)
573, 4, 8, 42, 40, 47diblss 35275 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑌 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5823, 54, 56, 57syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5949, 58sseldd 3563 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
6043lsmub1 17835 . . . . . . . . . . . 12 (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊))))
6152, 59, 60syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊))))
62 simp13 1085 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊))
63 simp3r 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)
643, 4, 5, 6, 7, 8, 39, 40, 41, 42, 43dihvalcq 35341 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑌) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊))))
6523, 62, 34, 63, 64syl112anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑌) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌 𝑊))))
6661, 65sseqtr4d 3599 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ (𝐼𝑌))
6737fveq2d 6087 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋))
683, 4, 8, 39, 40dihvalb 35342 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋))
6923, 35, 68syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑋) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋))
7067, 69eqtr4d 2641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) = (𝐼𝑋))
71 simp2 1054 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌))
7270, 71eqsstrd 3596 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑌))
733, 6latmcl 16816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) ∈ 𝐵)
7413, 19, 29, 73syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) ∈ 𝐵)
753, 4, 6latmle2 16841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑟 𝑋) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) 𝑊)
7613, 19, 29, 75syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝑟 𝑋) 𝑊) 𝑊)
773, 4, 8, 42, 40, 47diblss 35275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑟 𝑋) 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑟 𝑋) 𝑊) 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
7823, 74, 76, 77syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
7949, 78sseldd 3563 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
803, 8, 39, 42, 47dihlss 35355 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
8123, 20, 80syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
8249, 81sseldd 3563 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼𝑌) ∈ (SubGrp‘𝑈))
8343lsmlub 17842 . . . . . . . . . . 11 (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑌)) ↔ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))) ⊆ (𝐼𝑌)))
8452, 79, 82, 83syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊)) ⊆ (𝐼𝑌)) ↔ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))) ⊆ (𝐼𝑌)))
8566, 72, 84mpbi2and 957 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑟) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑟 𝑋) 𝑊))) ⊆ (𝐼𝑌))
8645, 85eqsstrd 3596 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝐼‘(𝑟 𝑋)) ⊆ (𝐼𝑌))
873, 4, 8, 39dihord4 35363 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑟 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑟 𝑋) 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑟 𝑋)) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ (𝑟 𝑋) 𝑌))
8823, 19, 33, 62, 87syl121anc 1322 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → ((𝐼‘(𝑟 𝑋)) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ (𝑟 𝑋) 𝑌))
8986, 88mpbid 220 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → (𝑟 𝑋) 𝑌)
903, 4, 13, 14, 19, 20, 22, 89lattrd 16822 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
91903expia 1258 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌) → 𝑋 𝑌))
9291exp4c 633 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (𝑟𝐴 → (¬ 𝑟 𝑊 → ((𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌𝑋 𝑌))))
9392imp4a 611 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (𝑟𝐴 → ((¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌) → 𝑋 𝑌)))
9493rexlimdv 3006 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → (∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑌 𝑊)) = 𝑌) → 𝑋 𝑌))
9510, 94mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ¬ 𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → 𝑋 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2891  wss 3534   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  lecple 15716  joincjn 16708  meetcmee 16709  Latclat 16809  SubGrpcsubg 17352  LSSumclsm 17813  LModclmod 18627  LSubSpclss 18694  Atomscatm 33366  HLchlt 33453  LHypclh 34086  DVecHcdvh 35183  DIsoBcdib 35243  DIsoCcdic 35277  DIsoHcdih 35333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-riotaBAD 33055
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-undef 7258  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-0g 15866  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-subg 17355  df-cntz 17514  df-lsm 17815  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-dvr 18447  df-drng 18513  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lsp 18734  df-lvec 18865  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-llines 33600  df-lplanes 33601  df-lvols 33602  df-lines 33603  df-psubsp 33605  df-pmap 33606  df-padd 33898  df-lhyp 34090  df-laut 34091  df-ldil 34206  df-ltrn 34207  df-trl 34262  df-tendo 34859  df-edring 34861  df-disoa 35134  df-dvech 35184  df-dib 35244  df-dic 35278  df-dih 35334
This theorem is referenced by:  dihord5a  35368
  Copyright terms: Public domain W3C validator