MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dip0l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dip0l 26789
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5 𝑍 = (0vec𝑈)
dip0r.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dip0l ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑍𝑃𝐴) = 0)

Proof of Theorem dip0l
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 dip0r.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 26687 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
43adantr 479 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
5 dip0r.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 5dipcj 26785 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝑍)) = (𝑍𝑃𝐴))
74, 6mpd3an3 1416 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝑍)) = (𝑍𝑃𝐴))
81, 2, 5dip0r 26788 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝑍) = 0)
98fveq2d 6092 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝑍)) = (∗‘0))
10 cj0 13695 . . 3 (∗‘0) = 0
119, 10syl6eq 2659 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝑍)) = 0)
127, 11eqtr3d 2645 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑍𝑃𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  ccj 13633  NrmCVeccnv 26635  BaseSetcba 26637  0veccn0v 26639  ·𝑖OLDcdip 26768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-ablo 26580  df-vc 26595  df-nv 26643  df-va 26646  df-ba 26647  df-sm 26648  df-0v 26649  df-nmcv 26651  df-dip 26769
This theorem is referenced by:  ip2i  26901  ipasslem1  26904  ipasslem2  26905
  Copyright terms: Public domain W3C validator