Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcj 27418
 Description: The complex conjugate of an inner product reverses its arguments. Equation I1 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipcj ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))

Proof of Theorem dipcj
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2621 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2621 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2621 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 ipcl.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 27411 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4))
76fveq2d 6152 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)))
81, 2, 3, 4, 5ipval2 27411 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
983com23 1268 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
101, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 27409 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1110recnd 10012 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
12 neg1cn 11068 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27410 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -1 ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1412, 13mpan2 706 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1511, 14subcld 10336 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
16 ax-icn 9939 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27410 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1816, 17mpan2 706 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
19 negicn 10226 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
201, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27410 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
2119, 20mpan2 706 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
2218, 21subcld 10336 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
23 mulcl 9964 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
2416, 22, 23sylancr 694 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
2515, 24addcld 10003 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ)
26 4cn 11042 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
27 4ne0 11061 . . . . . 6 4 ≠ 0
28 cjdiv 13838 . . . . . 6 (((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
2926, 27, 28mp3an23 1413 . . . . 5 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
3025, 29syl 17 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
31 4re 11041 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
32 cjre 13813 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘4) = 4
3433oveq2i 6615 . . . . 5 ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / 4)
351, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 27408 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -1 ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3612, 35mpan2 706 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3710, 36resubcld 10402 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
381, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 27408 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3916, 38mpan2 706 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
401, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 27408 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
4119, 40mpan2 706 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
4239, 41resubcld 10402 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
43 cjreim 13834 . . . . . . . 8 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4437, 42, 43syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
45 submul2 10414 . . . . . . . . 9 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4616, 45mp3an2 1409 . . . . . . . 8 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4715, 22, 46syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
481, 2nvcom 27325 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))
4948fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴)))
5049oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2))
511, 2, 3, 4nvdif 27370 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
5251oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
5350, 52oveq12d 6622 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
5418, 21negsubdi2d 10352 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))
551, 2, 3, 4nvpi 27371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
56553com23 1268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
5756eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
5857oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
591, 2, 3, 4nvpi 27371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
6059oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
6158, 60oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
6254, 61eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
6362oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) = (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))))
6453, 63oveq12d 6622 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
6544, 47, 643eqtrd 2659 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
6665oveq1d 6619 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / 4) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
6734, 66syl5eq 2667 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
6830, 67eqtrd 2655 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
699, 68eqtr4d 2658 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)))
707, 69eqtr4d 2658 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  ici 9882   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  4c4 11016  ↑cexp 12800  ∗ccj 13770  NrmCVeccnv 27288   +𝑣 cpv 27289  BaseSetcba 27290   ·𝑠OLD cns 27291  normCVcnmcv 27294  ·𝑖OLDcdip 27404 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-grpo 27196  df-gid 27197  df-ginv 27198  df-ablo 27248  df-vc 27263  df-nv 27296  df-va 27299  df-ba 27300  df-sm 27301  df-0v 27302  df-nmcv 27304  df-dip 27405 This theorem is referenced by:  ipipcj  27419  diporthcom  27420  dip0l  27422  ipasslem10  27543  dipdi  27547  dipassr  27550  dipsubdi  27553  siii  27557  hlipcj  27616
 Copyright terms: Public domain W3C validator