MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcl 27416
Description: An inner product is a complex number. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipcl ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dipcl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2621 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2621 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2621 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 ipcl.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval 27407 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4))
7 fzfid 12712 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1...4) ∈ Fin)
8 ax-icn 9939 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
9 elfznn 12312 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
109nnnn0d 11295 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 expcl 12818 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
128, 10, 11sylancr 694 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...4) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1312adantl 482 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
141, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27410 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (i↑𝑘) ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1512, 14sylan2 491 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 10004 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
177, 16fsumcl 14397 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
18 4cn 11042 . . . 4 4 ∈ ℂ
19 4ne0 11061 . . . 4 4 ≠ 0
20 divcl 10635 . . . 4 ((Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
2118, 19, 20mp3an23 1413 . . 3 𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
2217, 21syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
236, 22eqeltrd 2698 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881  ici 9882   · cmul 9885   / cdiv 10628  2c2 11014  4c4 11016  0cn0 11236  ...cfz 12268  cexp 12800  Σcsu 14350  NrmCVeccnv 27288   +𝑣 cpv 27289  BaseSetcba 27290   ·𝑠OLD cns 27291  normCVcnmcv 27294  ·𝑖OLDcdip 27404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-grpo 27196  df-ablo 27248  df-vc 27263  df-nv 27296  df-va 27299  df-ba 27300  df-sm 27301  df-0v 27302  df-nmcv 27304  df-dip 27405
This theorem is referenced by:  ipf  27417  ipipcj  27419  ip1ilem  27530  ip2i  27532  ipasslem1  27535  ipasslem2  27536  ipasslem4  27538  ipasslem5  27539  ipasslem7  27540  ipasslem8  27541  ipasslem9  27542  ipasslem10  27543  ipasslem11  27544  dipdi  27547  ip2dii  27548  dipassr  27550  dipsubdir  27552  dipsubdi  27553  pythi  27554  siilem1  27555  siilem2  27556  siii  27557  ipblnfi  27560  ip2eqi  27561  htthlem  27623
  Copyright terms: Public domain W3C validator