MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcn 26763
Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
dipcn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
dipcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
dipcn.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dipcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem dipcn
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2609 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2609 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2609 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 dipcn.p . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5dipfval 26742 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)))
7 dipcn.c . . . . 5 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
81, 7imsxmet 26728 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9 dipcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
109mopntopon 21995 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
118, 10syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
12 dipcn.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
13 fzfid 12589 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1...4) ∈ Fin)
1411adantr 479 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
1512cnfldtopon 22328 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
17 ax-icn 9851 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
18 elfznn 12196 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
1918adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 11198 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 expcl 12695 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
2217, 20, 21sylancr 693 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 21225 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (i↑𝑘)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
2414, 14cnmpt1st 21223 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2514, 14cnmpt2nd 21224 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
267, 9, 3, 12smcn 26738 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2726adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 21230 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
297, 9, 2vacn 26734 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3029adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( +𝑣𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 21230 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
324, 7, 9, 12nmcnc 26736 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (normCV𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 21227 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
3512sqcn 22416 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37 oveq1 6534 . . . . . 6 (𝑧 = ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) → (𝑧↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 21226 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
3912mulcn 22409 . . . . . 6 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
4039a1i 11 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 21230 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 22413 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
4315a1i 11 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
44 4cn 10945 . . . . 5 4 ∈ ℂ
45 4ne0 10964 . . . . 5 4 ≠ 0
4612divccn 22415 . . . . 5 ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
4744, 45, 46mp2an 703 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
4847a1i 11 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49 oveq1 6534 . . 3 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) → (𝑧 / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) / 4))
5011, 11, 42, 43, 48, 49cnmpt21 21226 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
516, 50eqeltrd 2687 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793  ici 9794   · cmul 9797   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  4c4 10919  0cn0 11139  ...cfz 12152  cexp 12677  Σcsu 14210  TopOpenctopn 15851  ∞Metcxmt 19498  MetOpencmopn 19503  fldccnfld 19513  TopOnctopon 20460   Cn ccn 20780   ×t ctx 21115  NrmCVeccnv 26607   +𝑣 cpv 26608  BaseSetcba 26609   ·𝑠OLD cns 26610  normCVcnmcv 26613  IndMetcims 26614  ·𝑖OLDcdip 26740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-grpo 26497  df-gid 26498  df-ginv 26499  df-gdiv 26500  df-ablo 26552  df-vc 26567  df-nv 26615  df-va 26618  df-ba 26619  df-sm 26620  df-0v 26621  df-vs 26622  df-nmcv 26623  df-ims 26624  df-dip 26741
This theorem is referenced by:  ipasslem7  26881  occllem  27352
  Copyright terms: Public domain W3C validator