Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem3 40091
Description: The Dirichlet Kernel is continuous at 𝑌 points that are multiples of (2 · π). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem3.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem3.a 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem3.b 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem3.f 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
dirkercncflem3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem3.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem3.yr (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem3.yod (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem3 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝐷𝑁) lim 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,𝑌   𝑦,𝑛   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem3
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem3.d . . 3 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
2 oveq2 6655 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
32fveq2d 6193 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
43cbvmptv 4748 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
5 oveq1 6654 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 / 2) = (𝑦 / 2))
65fveq2d 6193 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (sin‘(𝑤 / 2)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
76oveq2d 6663 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
87cbvmptv 4748 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
9 dirkercncflem3.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑌 − π)
10 dirkercncflem3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (𝑌 + π)
11 dirkercncflem3.yr . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
12 dirkercncflem3.yod . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
139, 10, 11, 12dirkercncflem1 40089 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
1413simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
15 r19.26 3062 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) ↔ (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
1614, 15sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
1716simpld 475 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
1817r19.21bi 2931 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
192fveq2d 6193 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
2019oveq2d 6663 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
2120cbvmptv 4748 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
225fveq2d 6193 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
2322oveq2d 6663 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
2423cbvmptv 4748 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
25 eqid 2621 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑧))) / (π · (cos‘(𝑧 / 2))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑧))) / (π · (cos‘(𝑧 / 2)))))
26 dirkercncflem3.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2713simpld 475 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2816simprd 479 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
2928r19.21bi 2931 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
301, 4, 8, 18, 21, 24, 25, 26, 27, 12, 29dirkercncflem2 40090 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
311dirkerf 40083 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
3226, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
33 ax-resscn 9990 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3532, 34fssd 6055 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℂ)
36 ioossre 12232 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
3837ssdifssd 3746 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
39 eqid 2621 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
40 eqid 2621 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌}))
41 iooretop 22563 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
42 retop 22559 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
43 uniretop 22560 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
4443isopn3 20864 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)))
4542, 37, 44sylancr 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)))
4641, 45mpbii 223 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
4727, 46eleqtrrd 2703 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
4839tgioo2 22600 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5049fveq2d 6193 . . . . . 6 (𝜑 → (int‘(topGen‘ran (,))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5150fveq1d 6191 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
5247, 51eleqtrd 2702 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
5311snssd 4338 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑌} ⊆ ℝ)
54 ssequn2 3784 . . . . . . . 8 ({𝑌} ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∪ {𝑌}) = ℝ)
5553, 54sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ ∪ {𝑌}) = ℝ)
5655oveq2d 6663 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5756fveq2d 6193 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌}))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
58 uncom 3755 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
5927snssd 4338 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵))
60 undif 4047 . . . . . . 7 ({𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
6159, 60sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
6258, 61syl5eq 2667 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = (𝐴(,)𝐵))
6357, 62fveq12d 6195 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})))‘(((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
6452, 63eleqtrrd 2703 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})))‘(((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})))
6535, 38, 34, 39, 40, 64limcres 23644 . 2 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌) = ((𝐷𝑁) lim 𝑌))
6630, 65eleqtrd 2702 1 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝐷𝑁) lim 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  cdif 3569  cun 3570  wss 3572  ifcif 4084  {csn 4175  cmpt 4727  ran crn 5113  cres 5114  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  cc 9931  cr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936   · cmul 9938  cmin 10263   / cdiv 10681  cn 11017  2c2 11067  (,)cioo 12172   mod cmo 12663  sincsin 14788  cosccos 14789  πcpi 14791  t crest 16075  TopOpenctopn 16076  topGenctg 16092  fldccnfld 19740  Topctop 20692  intcnt 20815   lim climc 23620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-bc 13085  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-sin 14794  df-cos 14795  df-pi 14797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934  df-perf 20935  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-t1 21112  df-haus 21113  df-cmp 21184  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-cncf 22675  df-limc 23624  df-dv 23625
This theorem is referenced by:  dirkercncf  40093
  Copyright terms: Public domain W3C validator