Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dis1stc 21496
 Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5049 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2 distop 20993 . . . . . . . 8 ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4 tgtop 20971 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6 topbas 20970 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8 snfi 8195 . . . . . . . . . 10 {𝑥} ∈ Fin
9 pwfi 8418 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
108, 9mpbi 220 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11 isfinite 8714 . . . . . . . . 9 (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
1210, 11mpbi 220 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13 sdomdom 8141 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15 2ndci 21445 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔)
167, 14, 15mp2an 710 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔
175, 16eqeltrri 2828 . . . . 5 𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔
18 2ndc1stc 21448 . . . . 5 (𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔 → 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
2019rgenw 3054 . . 3 𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
21 dislly 21494 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔 ↔ ∀𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔))
2220, 21mpbiri 248 . 2 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔)
23 lly1stc 21493 . 2 Locally 1st𝜔 = 1st𝜔
2422, 23syl6eleq 2841 1 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  Vcvv 3332  𝒫 cpw 4294  {csn 4313   class class class wbr 4796  ‘cfv 6041  ωcom 7222   ≼ cdom 8111   ≺ csdm 8112  Fincfn 8113  topGenctg 16292  Topctop 20892  TopBasesctb 20943  1st𝜔c1stc 21434  2nd𝜔c2ndc 21435  Locally clly 21461 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-card 8947  df-acn 8950  df-rest 16277  df-topgen 16298  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-1stc 21436  df-2ndc 21437  df-lly 21463 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator