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Theorem discr1 12817
Description: A nonnegative quadratic form has nonnegative leading coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
discr.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
discr.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
discr.4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
discr1.5 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
Assertion
Ref Expression
discr1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr1
StepHypRef Expression
1 discr1.5 . . . . 5 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
2 discr.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 discr.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
54adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
6 0re 9896 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
7 ifcl 4079 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
93, 8readdcld 9925 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ)
10 peano2re 10060 . . . . . . . 8 ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
12 discr.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413renegcld 10308 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
1512lt0neg1d 10446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
1615biimpa 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
1716gt0ne0d 10441 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ≠ 0)
1811, 14, 17redivcld 10702 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ)
19 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
20 ifcl 4079 . . . . . 6 (((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
2118, 19, 20sylancl 692 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
221, 21syl5eqel 2691 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
23 discr.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
2423ralrimiva 2948 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
2524adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
26 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
2726oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
28 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑋))
2927, 28oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
3029oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
3130breq2d 4589 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
3231rspcv 3277 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
3322, 25, 32sylc 62 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
34 resqcl 12748 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3522, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3613, 35remulcld 9926 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
373, 22remulcld 9926 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℝ)
3836, 37readdcld 9925 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) ∈ ℝ)
3938, 5readdcld 9925 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ)
4013, 22remulcld 9926 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
4140, 9readdcld 9925 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
4241, 22remulcld 9926 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) ∈ ℝ)
436a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
448, 22remulcld 9926 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋) ∈ ℝ)
45 max2 11851 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
466, 5, 45sylancr 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
47 max1 11849 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
486, 5, 47sylancr 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
49 max1 11849 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
5019, 18, 49sylancr 693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
5150, 1syl6breqr 4619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 1 ≤ 𝑋)
528, 22, 48, 51lemulge11d 10810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
535, 8, 44, 46, 52letrd 10045 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
545, 44, 38, 53leadd2dd 10491 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
5540, 3readdcld 9925 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℝ)
5655recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℂ)
578recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5822recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
5956, 57, 58adddird 9921 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
6040recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
613recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6260, 61, 57addassd 9918 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) = ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))))
6362oveq1d 6542 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
6460, 61, 58adddird 9921 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) = (((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) + (𝐵 · 𝑋)))
6513recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6665, 58, 58mulassd 9919 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
67 sqval 12739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
6858, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
6968oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
7066, 69eqtr4d 2646 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
7170oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) + (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
7264, 71eqtrd 2643 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
7372oveq1d 6542 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
7459, 63, 733eqtr3d 2651 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
7554, 74breqtrrd 4605 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
7614, 22remulcld 9926 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
779ltp1d 10803 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1))
78 max2 11851 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
7919, 18, 78sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
8079, 1syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋)
81 ledivmul 10748 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
8211, 22, 14, 16, 81syl112anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
8380, 82mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋))
849, 11, 76, 77, 83ltletrd 10048 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (-𝐴 · 𝑋))
8565, 58mulneg1d 10333 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = -(𝐴 · 𝑋))
86 df-neg 10120 . . . . . . . . . 10 -(𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋))
8785, 86syl6eq 2659 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋)))
8884, 87breqtrd 4603 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋)))
8940, 9, 43ltaddsub2d 10477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋))))
9088, 89mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0)
9119a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
92 0lt1 10399 . . . . . . . . . 10 0 < 1
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < 1)
9443, 91, 22, 93, 51ltletrd 10048 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < 𝑋)
95 ltmul1 10722 . . . . . . . 8 ((((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
9641, 43, 22, 94, 95syl112anc 1321 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
9790, 96mpbid 220 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋))
9858mul02d 10085 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (0 · 𝑋) = 0)
9997, 98breqtrd 4603 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < 0)
10039, 42, 43, 75, 99lelttrd 10046 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0)
101 ltnle 9968 . . . . 5 (((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
10239, 6, 101sylancl 692 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
103100, 102mpbid 220 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
10433, 103pm2.65da 597 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
105 lelttric 9995 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
1066, 12, 105sylancr 693 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
107106ord 390 . 2 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
108104, 107mt3d 138 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  ifcif 4035   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  2c2 10917  cexp 12677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-seq 12619  df-exp 12678
This theorem is referenced by:  discr  12818
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