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Theorem disjiun 4631
 Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem disjiun
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 4612 . . . 4 (Disj 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)
2 elin 3788 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵))
3 eliun 4515 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐶 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵)
4 eliun 4515 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐷 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)
53, 4anbi12i 732 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
62, 5bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
7 nfv 1841 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑦𝐵
87rmo2 3519 . . . . . . . . . . 11 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
9 an4 864 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ↔ ((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)))
10 ssralv 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧)))
1110impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐶𝐴) → ∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
12 r19.29 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) → ∃𝑥𝐶 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
1413imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑧)
1514eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐶𝑧𝐶))
1615biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐶 → (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶))
1716rexlimiv 3023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑥𝐶 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶)
1918ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵𝑧𝐶))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐶𝐴) → (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵𝑧𝐶))
2120expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶))
22 ssralv 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧)))
2322impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐷𝐴) → ∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
24 r19.29 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → ∃𝑥𝐷 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵))
2514eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐷𝑧𝐷))
2625biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐷 → (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷))
2726rexlimiv 3023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑥𝐷 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷)
2824, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷)
2928ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (∃𝑥𝐷 𝑦𝐵𝑧𝐷))
3023, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐷𝐴) → (∃𝑥𝐷 𝑦𝐵𝑧𝐷))
3130expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ((𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷))
3221, 31anim12d 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝑧𝐶𝑧𝐷)))
33 inelcm 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐶𝑧𝐷) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
3432, 33syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
3534exlimiv 1856 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
369, 35syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
3736expd 452 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
388, 37sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
3938impcom 446 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
406, 39syl5bi 232 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
4140necon2bd 2807 . . . . . . 7 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
4241impancom 456 . . . . . 6 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
43423impa 1257 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
4443alimdv 1843 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
451, 44syl5bi 232 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (Disj 𝑥𝐴 𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
4645impcom 446 . 2 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
47 eq0 3921 . 2 (( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
4846, 47sylibr 224 1 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036  ∀wal 1479   = wceq 1481  ∃wex 1702   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∀wral 2909  ∃wrex 2910  ∃*wrmo 2912   ∩ cin 3566   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907  ∪ ciun 4511  Disj wdisj 4611 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rmo 2917  df-v 3197  df-dif 3570  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-iun 4513  df-disj 4612 This theorem is referenced by:  disjxiun  4640  disjxiunOLD  4641  fsumiun  14534  uniioombllem4  23335  disjiun2  39046  sge0iunmptlemfi  40393
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