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Theorem disjiun 4564
Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem disjiun
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 4545 . . . 4 (Disj 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)
2 elin 3754 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵))
3 eliun 4451 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐶 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵)
4 eliun 4451 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐷 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)
53, 4anbi12i 728 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
62, 5bitri 262 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
7 nfv 1829 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑦𝐵
87rmo2 3488 . . . . . . . . . . 11 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
9 an4 860 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ↔ ((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)))
10 ssralv 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧)))
1110impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐶𝐴) → ∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
12 r19.29 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) → ∃𝑥𝐶 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
1413imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑧)
1514eleq1d 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐶𝑧𝐶))
1615biimpcd 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐶 → (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶))
1716rexlimiv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑥𝐶 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶)
1918ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐶 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵𝑧𝐶))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐶𝐴) → (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵𝑧𝐶))
2120expimpd 626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) → 𝑧𝐶))
22 ssralv 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧)))
2322impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐷𝐴) → ∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧))
24 r19.29 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → ∃𝑥𝐷 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵))
2514eleq1d 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐷𝑧𝐷))
2625biimpcd 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐷 → (((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷))
2726rexlimiv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑥𝐷 ((𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷)
2824, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷)
2928ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐷 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (∃𝑥𝐷 𝑦𝐵𝑧𝐷))
3023, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) ∧ 𝐷𝐴) → (∃𝑥𝐷 𝑦𝐵𝑧𝐷))
3130expimpd 626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ((𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → 𝑧𝐷))
3221, 31anim12d 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝑧𝐶𝑧𝐷)))
33 inelcm 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐶𝑧𝐷) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
3432, 33syl6 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
3534exlimiv 1844 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴 ∧ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵) ∧ (𝐷𝐴 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
369, 35syl5bi 230 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
3736expd 450 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝑥𝐴 (𝑦𝐵𝑥 = 𝑧) → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
388, 37sylbi 205 . . . . . . . . . 10 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
3938impcom 444 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
406, 39syl5bi 230 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
4140necon2bd 2794 . . . . . . 7 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
4241impancom 454 . . . . . 6 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
43423impa 1250 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
4443alimdv 1831 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
451, 44syl5bi 230 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (Disj 𝑥𝐴 𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
4645impcom 444 . 2 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
47 eq0 3884 . 2 (( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
4846, 47sylibr 222 1 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030  wal 1472   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  wrex 2893  ∃*wrmo 2895  cin 3535  wss 3536  c0 3870   ciun 4446  Disj wdisj 4544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rmo 2900  df-v 3171  df-dif 3539  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-iun 4448  df-disj 4545
This theorem is referenced by:  disjxiun  4570  disjxiunOLD  4571  fsumiun  14337  uniioombllem4  23074  disjiun2  38051  sge0iunmptlemfi  39107
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