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Theorem disjxiun 4681
Description: An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that 𝐵(𝑦) and 𝐶(𝑥) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.) (Proof shortened by JJ, 27-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
disjxiun (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem disjxiun
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 4582 . . . . . 6 𝑦 𝑦𝐴 𝐵
2 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑦𝐶
31, 2nfdisj 4664 . . . . 5 𝑦Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶
4 disjss1 4658 . . . . . 6 (𝐵 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶Disj 𝑥𝐵 𝐶))
5 ssiun2 4595 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
64, 5syl11 33 . . . . 5 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → (𝑦𝐴Disj 𝑥𝐵 𝐶))
73, 6ralrimi 2986 . . . 4 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶)
87a1i 11 . . 3 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶))
9 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶)
10 ssiun2 4595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢𝐴𝑢 / 𝑦𝐵 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
11 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑢𝐵
12 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑢 / 𝑦𝐵
13 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑦𝐵)
1411, 12, 13cbviun 4589 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 𝐵 = 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵
1510, 14syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝐴𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → 𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
1716ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
18 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑣𝑢 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
1918sseq1d 3665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵))
2019, 15vtoclga 3303 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝐴𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → 𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2221ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2311, 12, 13cbvdisj 4662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
2418disjor 4666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
2523, 24sylbb 209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
26 rsp2 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)))
2827imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
2928ord 391 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
3029impr 648 . . . . . . . . . . 11 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)
3130adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)
32 disjiun 4672 . . . . . . . . . 10 ((Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ∧ (𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
339, 17, 22, 31, 32syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
3433expr 642 . . . . . . . 8 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3534orrd 392 . . . . . . 7 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3635ralrimivva 3000 . . . . . 6 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3718iuneq1d 4577 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑣 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
3837disjor 4666 . . . . . 6 (Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3936, 38sylibr 224 . . . . 5 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
40 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑢 𝑥𝐵 𝐶
4112, 2nfiun 4580 . . . . . 6 𝑦 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶
4213iuneq1d 4577 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑢 𝑥𝐵 𝐶 = 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
4340, 41, 42cbvdisj 4662 . . . . 5 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
4439, 43sylibr 224 . . . 4 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)
4544ex 449 . . 3 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶))
468, 45jcad 554 . 2 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
4714eleq2i 2722 . . . . . . . 8 (𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑟 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
48 eliun 4556 . . . . . . . 8 (𝑟 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
4947, 48bitri 264 . . . . . . 7 (𝑟 𝑦𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
50 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑣𝐵
51 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑣 / 𝑦𝐵
52 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
5350, 51, 52cbviun 4589 . . . . . . . . 9 𝑦𝐴 𝐵 = 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵
5453eleq2i 2722 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵)
55 eliun 4556 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
5654, 55bitri 264 . . . . . . 7 (𝑠 𝑦𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
5749, 56anbi12i 733 . . . . . 6 ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) ↔ (∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
58 reeanv 3136 . . . . . 6 (∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
5957, 58bitr4i 267 . . . . 5 ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
60 simplrr 818 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ¬ 𝑟 = 𝑠)
6112, 2nfdisj 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶
6213disjeq1d 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑢 → (Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶))
6361, 62rspc 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝐴 → (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶))
6463impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶𝑢𝐴) → Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
65 disjors 4667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6664, 65sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶𝑢𝐴) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6766ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
69 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
70 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
7118adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑢 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
7270, 71eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠𝑢 / 𝑦𝐵)
7369, 72jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵))
74 rsp2 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅) → ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
7574imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7668, 73, 75syl2an2r 893 . . . . . . . . . . . . 13 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7776adantlrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7877ord 391 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7960, 78mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
80 ssiun2 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶 𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶)
81 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟𝐶
82 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑟 / 𝑥𝐶
83 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑟𝐶 = 𝑟 / 𝑥𝐶)
8481, 82, 83cbviun 4589 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶
8580, 84syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
86 ssiun2 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶 𝑠 𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶)
87 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑠𝐶
88 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑠 / 𝑥𝐶
89 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠𝐶 = 𝑠 / 𝑥𝐶)
9087, 88, 89cbviun 4589 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑠 𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶
9186, 90syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
92 ss2in 3873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶𝑠 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
9385, 91, 92syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
9493ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
95 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 𝑥𝐵 𝐶
96 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑧 / 𝑦𝐵
9796, 2nfiun 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶
98 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑦𝐵)
9998iuneq1d 4577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 𝑥𝐵 𝐶 = 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
10095, 97, 99cbvdisj 4662 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
101100biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
102101ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
103 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
104 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝑣𝑢𝑣)
105 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑢𝑧 / 𝑦𝐵 = 𝑢 / 𝑦𝐵)
106105iuneq1d 4577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑢 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
107 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑣𝑧 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
108107iuneq1d 4577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
109106, 108disji2 4668 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑢𝑣) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
110102, 103, 104, 109syl2an3an 1426 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢𝑣) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
111 sseq0 4008 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) ∧ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
11294, 110, 111syl2an2r 893 . . . . . . . . . 10 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢𝑣) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
11379, 112pm2.61dane 2910 . . . . . . . . 9 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
114113expr 642 . . . . . . . 8 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
115114orrd 392 . . . . . . 7 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
116115ex 449 . . . . . 6 (((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
117116rexlimdvva 3067 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → (∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
11859, 117syl5bi 232 . . . 4 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
119118ralrimivv 2999 . . 3 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → ∀𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
120 disjors 4667 . . 3 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
121119, 120sylibr 224 . 2 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶)
12246, 121impbid1 215 1 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  csb 3566  cin 3606  wss 3607  c0 3948   ciun 4552  Disj wdisj 4652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-iun 4554  df-disj 4653
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