Theorem disjxiun 5065

Description: An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that 𝐵(𝑦) and 𝐶(𝑥) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.) (Proof shortened by JJ, 27-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjxiun	⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem disjxiun

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵
2		nfcv 2979	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
3	1, 2	nfdisjw 5045	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶
4		disjss1 5039	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
5		ssiun2 4973	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
6	4, 5	syl11 33	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐴 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
7	3, 6	ralrimi 3218	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
9		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
10		ssiun2 4973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
11		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢𝐵
12		nfcsb1v 3909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵
13		csbeq1a 3899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
14	11, 12, 13	cbviun 4963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵
15	10, 14	sseqtrrdi 4020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
16	15	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
18		csbeq1 3888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
19	18	sseq1d 4000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵))
20	19, 15	vtoclga 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
21	20	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
22	21	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
23	11, 12, 13	cbvdisj 5043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
24	18	disjor 5048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
25	23, 24	sylbb 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
26		rsp2 3215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)))
28	27	imp 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
29	28	ord 860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
30	29	impr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)
31	30	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)
32		disjiun 5055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ∧ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
33	9, 17, 22, 31, 32	syl13anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
34	33	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
35	34	orrd 859	. . . . . . 7 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
36	35	ralrimivva 3193	. . . . . 6 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
37	18	iuneq1d 4948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
38	37	disjor 5048	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
39	36, 38	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
40		nfcv 2979	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶
41	12, 2	nfiun 4951	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶
42	13	iuneq1d 4948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
43	40, 41, 42	cbvdisj 5043	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
44	39, 43	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
45	44	ex 415	. . 3 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
46	8, 45	jcad 515	. 2 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))
47	14	eleq2i 2906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑟 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
48		eliun 4925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
49	47, 48	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
50		nfcv 2979	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑣𝐵
51		nfcsb1v 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵
52		csbeq1a 3899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
53	50, 51, 52	cbviun 4963	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵
54	53	eleq2i 2906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑠 ∈ ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
55		eliun 4925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
56	54, 55	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
57	49, 56	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
58		reeanv 3369	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
59	57, 58	bitr4i 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
60		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ¬ 𝑟 = 𝑠)
61	12, 2	nfdisjw 5045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶
62	13	disjeq1d 5041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
63	61, 62	rspc 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
64	63	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
65		disjors 5049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
66	64, 65	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
67	66	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
68	67	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
69		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
70		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
71	18	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
72	70, 71	eleqtrrd 2918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
73	69, 72	jca 514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵))
74		rsp2 3215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅) → ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
75	74	imp 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
76	68, 73, 75	syl2an2r 683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
77	76	adantlrr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
78	77	ord 860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
79	60, 78	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
80		ssiun2 4973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶)
81		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑟𝐶
82		nfcsb1v 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶
83		csbeq1a 3899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → 𝐶 = ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶)
84	81, 82, 83	cbviun 4963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶
85	80, 84	sseqtrrdi 4020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
86		ssiun2 4973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑠 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶)
87		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑠𝐶
88		nfcsb1v 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶
89		csbeq1a 3899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐶 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶)
90	87, 88, 89	cbviun 4963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑠 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶
91	86, 90	sseqtrrdi 4020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
92		ss2in 4215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∧ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
93	85, 91, 92	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
94	93	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
95		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶
96		nfcsb1v 3909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵
97	96, 2	nfiun 4951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶
98		csbeq1a 3899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵)
99	98	iuneq1d 4948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
100	95, 97, 99	cbvdisj 5043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
101	100	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
102	101	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
103		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
104		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ≠ 𝑣 → 𝑢 ≠ 𝑣)
105		csbeq1 3888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
106	105	iuneq1d 4948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
107		csbeq1 3888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
108	107	iuneq1d 4948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
109	106, 108	disji2 5050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
110	102, 103, 104, 109	syl2an3an 1418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
111		sseq0 4355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) ∧ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
112	94, 110, 111	syl2an2r 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
113	79, 112	pm2.61dane 3106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
114	113	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
115	114	orrd 859	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
116	115	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
117	116	rexlimdvva 3296	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
118	59, 117	syl5bi 244	. . . 4 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
119	118	ralrimivv 3192	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → ∀𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
120		disjors 5049	. . 3 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
121	119, 120	sylibr 236	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
122	46, 121	impbid1 227	1 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  ⦋csb 3885   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ∪ ciun 4921  Disj wdisj 5033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-iun 4923  df-disj 5034

This theorem is referenced by: (None)