Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgneg 23544
 Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgpos.1 (𝜑𝐴𝐵)
ditgneg.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ditgneg.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ditgneg (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgneg
StepHypRef Expression
1 ditgpos.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
21biantrurd 529 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
3 ditgneg.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ditgneg.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
53, 4letri3d 10131 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
62, 5bitr4d 271 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
7 ditg0 23540 . . . . 5 ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥 = 0
8 neg0 10279 . . . . 5 -0 = 0
97, 8eqtr4i 2646 . . . 4 ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥 = -0
10 ditgeq2 23536 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥)
11 oveq1 6617 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
12 iooid 12153 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐵) = ∅
1311, 12syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
14 itgeq1 23462 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
16 itg0 23469 . . . . . 6 ∫∅𝐶 d𝑥 = 0
1715, 16syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = 0)
1817negeqd 10227 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = -0)
199, 10, 183eqtr4a 2681 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
206, 19syl6bi 243 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥))
21 df-ditg 23534 . . 3 ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = if(𝐵𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
22 iffalse 4072 . . 3 𝐵𝐴 → if(𝐵𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥) = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
2321, 22syl5eq 2667 . 2 𝐵𝐴 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
2420, 23pm2.61d1 171 1 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∅c0 3896  ifcif 4063   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  ℝcr 9887  0cc0 9888   ≤ cle 10027  -cneg 10219  (,)cioo 12125  ∫citg 23310  ⨜cdit 23533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xadd 11899  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-xmet 19671  df-met 19672  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-mbf 23311  df-itg1 23312  df-itg2 23313  df-itg 23315  df-0p 23360  df-ditg 23534 This theorem is referenced by:  ditgcl  23545  ditgswap  23546
 Copyright terms: Public domain W3C validator