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Theorem ditgsplit 23531
Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 23509, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ditgsplit (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplit
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 12180 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1071 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ditgsplit.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9 elicc2 12180 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
102, 3, 9syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
118, 10mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1211simp1d 1071 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
137adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 ditgsplit.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15 elicc2 12180 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
162, 3, 15syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
1714, 16mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1817simp1d 1071 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
2012ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
2118ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 ditgsplit.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
23 ditgsplit.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
24 biid 251 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
252, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24ditgsplitlem 23530 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
2625adantlr 750 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
27 biid 251 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵))
282, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27ditgsplitlem 23530 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
2928oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
302, 3, 1, 14, 22, 23ditgcl 23528 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
312, 3, 14, 8, 22, 23ditgcl 23528 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
322, 3, 8, 14, 22, 23ditgcl 23528 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
3330, 31, 32addassd 10006 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)))
342, 3, 14, 8, 22, 23ditgswap 23529 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
3534oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
3631negidd 10326 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
3735, 36eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
3837oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
3930addid1d 10180 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4033, 38, 393eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4140ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
4229, 41eqtr2d 2656 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4342adantllr 754 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4420, 21, 26, 43lecasei 10087 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
4540ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
46 ancom 466 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) ↔ (𝐶𝐴𝐴𝐵))
472, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46ditgsplitlem 23530 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
4847oveq2d 6620 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
492, 3, 1, 14, 22, 23ditgswap 23529 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
5049oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
5130negidd 10326 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
5250, 51eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
5352oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
542, 3, 14, 1, 22, 23ditgcl 23528 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
552, 3, 1, 8, 22, 23ditgcl 23528 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
5630, 54, 55addassd 10006 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
5755addid2d 10181 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5853, 56, 573eqtr3d 2663 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
5958ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6048, 59eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
6160oveq1d 6619 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6245, 61eqtr3d 2657 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
6313, 19, 44, 62lecasei 10087 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
647adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6518adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66 biid 251 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐶))
672, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66ditgsplitlem 23530 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
6867oveq2d 6620 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
692, 3, 1, 8, 22, 23ditgswap 23529 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
7069oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
7155negidd 10326 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
7270, 71eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
7372oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
742, 3, 8, 1, 22, 23ditgcl 23528 . . . . . . 7 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
7555, 74, 30addassd 10006 . . . . . 6 (𝜑 → ((⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
7630addid2d 10181 . . . . . 6 (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7773, 75, 763eqtr3d 2663 . . . . 5 (𝜑 → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7877ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
7968, 78eqtr2d 2656 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
8012ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8118ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82 ancom 466 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴𝐵𝐶) ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐴))
832, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82ditgsplitlem 23530 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8483oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
8532, 54, 30addassd 10006 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
862, 3, 14, 1, 22, 23ditgswap 23529 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥)
8786oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥))
8854negidd 10326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
8987, 88eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
9089oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
9132addid1d 10180 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9285, 90, 913eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9392ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ((⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
9484, 93eqtr2d 2656 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥))
9594oveq2d 6620 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)))
9677ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
9795, 96eqtr2d 2656 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
9897adantllr 754 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
99 ancom 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴))
1002, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99ditgsplitlem 23530 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
101100oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
10231, 74, 55addassd 10006 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
1032, 3, 8, 1, 22, 23ditgswap 23529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥)
104103oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥))
10574negidd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106104, 105eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107106oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
10831addid1d 10180 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
109102, 107, 1083eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
110109ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥)
111101, 110eqtr2d 2656 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥))
112111oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)))
11358ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥)
114112, 113eqtr2d 2656 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥))
115114oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11640ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ((⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥)
117115, 116eqtr2d 2656 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
118117adantlr 750 . . . 4 ((((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
11980, 81, 98, 118lecasei 10087 . . 3 (((𝜑𝐵𝐴) ∧ 𝐶𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
12064, 65, 79, 119lecasei 10087 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
1217, 12, 63, 120lecasei 10087 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cmpt 4673  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883  cle 10019  -cneg 10211  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  𝐿1cibl 23292  cdit 23516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cmp 21100  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-ibl 23297  df-itg 23298  df-0p 23343  df-ditg 23517
This theorem is referenced by:  itgsubstlem  23715
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