MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div0 10907
Description: Division into zero is zero. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
div0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 / 𝐴) = 0)

Proof of Theorem div0
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
21mul01d 10427 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 0) = 0)
3 0cn 10224 . . 3 0 ∈ ℂ
4 divmul 10880 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((0 / 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
53, 3, 4mp3an12 1563 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 / 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
62, 5mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 / 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128   · cmul 10133   / cdiv 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877
This theorem is referenced by:  div0i  10951  div0d  10992  gt0div  11081  ge0div  11082  nn0ledivnn  12134  fldiv4lem1div2  12832  rplogsumlem2  25373  dchrisum0fno1  25399  rplogsum  25415  pntrmax  25452  dp20u  29894  xdiv0  29946
  Copyright terms: Public domain W3C validator