Theorem div1 11331

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
div1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulid2 10642	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2		ax-1cn 10597	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		ax-1ne0 10608	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
4	2, 3	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
5		divmul 11303	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)) → ((𝐴 / 1) = 𝐴 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
6	4, 5	mp3an3 1446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 1) = 𝐴 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
7	6	anidms 569	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 1) = 𝐴 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐴))
8	1, 7	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   / cdiv 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300

This theorem is referenced by:  1div1e1  11332  divdiv1  11353  divdiv2  11354  div1i  11370  div1d  11410  ef4p  15468  efgt1p2  15469  efgt1p  15470  dveflem  24578  logneg2  25200