MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div4p1lem1div2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div4p1lem1div2 11131
Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
div4p1lem1div2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 6re 10945 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ)
3 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
42, 3, 3leadd2d 10468 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
54biimpa 499 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))
6 recn 9879 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
76times2d 11120 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
87adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
95, 8breqtrrd 4602 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))
10 4cn 10942 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℂ)
12 2cn 10935 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
146, 11, 13addassd 9915 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2)))
15 4p2e6 11006 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
1615oveq2i 6535 . . . . . 6 (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6)
1714, 16syl6eq 2656 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6))
1817breq1d 4584 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
1918adantr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
209, 19mpbird 245 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))
21 4re 10941 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
23 4ne0 10961 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
253, 22, 24redivcld 10699 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
26 peano2re 10057 . . . . . 6 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
28 peano2rem 10196 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2928rehalfcld 11123 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
30 4pos 10960 . . . . . . 7 0 < 4
3121, 30pm3.2i 469 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
33 lemul1 10721 . . . . 5 ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1317 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
3525recnd 9921 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℂ)
36 1cnd 9909 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
376, 11, 24divcan1d 10648 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁)
3810mulid2i 9896 . . . . . . . 8 (1 · 4) = 4
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 4) = 4)
4037, 39oveq12d 6542 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 · 4)) = (𝑁 + 4))
4135, 11, 36, 40joinlmuladdmuld 9920 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4))
42 2t2e4 11021 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
4342eqcomi 2615 . . . . . . . 8 4 = (2 · 2)
4443a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2 · 2))
4544oveq2d 6540 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
4629recnd 9921 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
47 mulass 9877 . . . . . . . 8 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
4847eqcomd 2612 . . . . . . 7 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
4946, 13, 13, 48syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
5028recnd 9921 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
51 2ne0 10957 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
5350, 13, 52divcan1d 10648 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) = (𝑁 − 1))
5453oveq1d 6539 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 − 1) · 2))
556, 36, 13subdird 10334 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) = ((𝑁 · 2) − (1 · 2)))
5612mulid2i 9896 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 2) = 2)
5857oveq2d 6540 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 · 2)) = ((𝑁 · 2) − 2))
5954, 55, 583eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 · 2) − 2))
6045, 49, 593eqtrd 2644 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = ((𝑁 · 2) − 2))
6141, 60breq12d 4587 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
623, 22readdcld 9922 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈ ℝ)
63 2re 10934 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
6463a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
653, 64remulcld 9923 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈ ℝ)
66 leaddsub 10350 . . . . . 6 (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
6766bicomd 211 . . . . 5 (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1317 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
6934, 61, 683bitrd 292 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
7069adantr 479 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
7120, 70mpbird 245 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794   < clt 9927  cle 9928  cmin 10114   / cdiv 10530  2c2 10914  4c4 10916  6c6 10918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927
This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  12450
  Copyright terms: Public domain W3C validator