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Theorem div4p1lem1div2 11247
Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
div4p1lem1div2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 6re 11061 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ)
3 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
42, 3, 3leadd2d 10582 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
54biimpa 501 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))
6 recn 9986 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
76times2d 11236 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
87adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
95, 8breqtrrd 4651 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))
10 4cn 11058 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℂ)
12 2cn 11051 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
146, 11, 13addassd 10022 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2)))
15 4p2e6 11122 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
1615oveq2i 6626 . . . . . 6 (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6)
1714, 16syl6eq 2671 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6))
1817breq1d 4633 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
1918adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
209, 19mpbird 247 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))
21 4re 11057 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
23 4ne0 11077 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
253, 22, 24redivcld 10813 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
26 peano2re 10169 . . . . . 6 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
28 peano2rem 10308 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2928rehalfcld 11239 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
30 4pos 11076 . . . . . . 7 0 < 4
3121, 30pm3.2i 471 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
33 lemul1 10835 . . . . 5 ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1323 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
3525recnd 10028 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℂ)
36 1cnd 10016 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
376, 11, 24divcan1d 10762 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁)
3810mulid2i 10003 . . . . . . . 8 (1 · 4) = 4
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 4) = 4)
4037, 39oveq12d 6633 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 · 4)) = (𝑁 + 4))
4135, 11, 36, 40joinlmuladdmuld 10027 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4))
42 2t2e4 11137 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
4342eqcomi 2630 . . . . . . . 8 4 = (2 · 2)
4443a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2 · 2))
4544oveq2d 6631 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
4629recnd 10028 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
47 mulass 9984 . . . . . . . 8 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
4847eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
4946, 13, 13, 48syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
5028recnd 10028 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
51 2ne0 11073 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
5350, 13, 52divcan1d 10762 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) = (𝑁 − 1))
5453oveq1d 6630 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 − 1) · 2))
556, 36, 13subdird 10447 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) = ((𝑁 · 2) − (1 · 2)))
5612mulid2i 10003 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 2) = 2)
5857oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 · 2)) = ((𝑁 · 2) − 2))
5954, 55, 583eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 · 2) − 2))
6045, 49, 593eqtrd 2659 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = ((𝑁 · 2) − 2))
6141, 60breq12d 4636 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
623, 22readdcld 10029 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈ ℝ)
63 2re 11050 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
6463a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
653, 64remulcld 10030 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈ ℝ)
66 leaddsub 10464 . . . . . 6 (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
6766bicomd 213 . . . . 5 (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1323 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
6934, 61, 683bitrd 294 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
7069adantr 481 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
7120, 70mpbird 247 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  2c2 11030  4c4 11032  6c6 11034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043
This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  12592
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