Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalg2 15326
 Description: The division algorithm (theorem) for a positive divisor. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalg2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Proof of Theorem divalg2
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 11587 . . . 4 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
2 nnne0 11241 . . . 4 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
31, 2jca 555 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0))
4 divalg 15324 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
5 divalgb 15325 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
64, 5mpbid 222 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
763expb 1114 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
83, 7sylan2 492 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
9 nnre 11215 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
10 nnnn0 11487 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 11542 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐷)
129, 11absidd 14356 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ → (abs‘𝐷) = 𝐷)
1312breq2d 4812 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < 𝐷))
1413anbi1d 743 . . . 4 (𝐷 ∈ ℕ → ((𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
1514reubidv 3261 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
1615adantl 473 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
178, 16mpbid 222 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2928  ∃wrex 3047  ∃!wreu 3048   class class class wbr 4800  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  0cc0 10124   + caddc 10127   · cmul 10129   < clt 10262   ≤ cle 10263   − cmin 10454  ℕcn 11208  ℕ0cn0 11480  ℤcz 11565  abscabs 14169   ∥ cdvds 15178 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-seq 12992  df-exp 13051  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-dvds 15179 This theorem is referenced by:  divalgmod  15327  divalgmodOLD  15328  ndvdssub  15331
 Copyright terms: Public domain W3C validator