MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem0 15059
Description: Lemma for divalg 15069. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
divalglem0 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Proof of Theorem divalglem0
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℤ
2 iddvds 14938 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
3 dvdsabsb 14944 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
43anidms 676 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
52, 4mpbid 222 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
61, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
7 nn0abscl 14002 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
81, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
98nn0zi 11362 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
10 dvdsmultr2 14964 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
111, 9, 10mp3an13 1412 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
126, 11mpi 20 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
1312adantl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
14 divalglem0.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℤ
15 zsubcl 11379 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
1614, 15mpan 705 . . . 4 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
17 zmulcl 11386 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
189, 17mpan2 706 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
19 dvds2add 14958 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
201, 19mp3an1 1408 . . . 4 (((𝑁𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
2116, 18, 20syl2an 494 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
2213, 21mpan2d 709 . 2 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
23 zcn 11342 . . . 4 (𝑅 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ ℂ)
2418zcnd 11443 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
25 zcn 11342 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
27 subsub 10271 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2826, 27mp3an1 1408 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2923, 24, 28syl2an 494 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
3029breq2d 4635 . 2 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
3122, 30sylibrd 249 1 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226  0cn0 11252  cz 11337  abscabs 13924  cdvds 14926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927
This theorem is referenced by:  divalglem5  15063
  Copyright terms: Public domain W3C validator