MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem0 15732
Description: Lemma for divalg 15742. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
divalglem0 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Proof of Theorem divalglem0
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℤ
2 iddvds 15611 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
3 dvdsabsb 15617 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
43anidms 567 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
52, 4mpbid 233 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
61, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
7 nn0abscl 14660 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
81, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
98nn0zi 11995 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
10 dvdsmultr2 15637 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
111, 9, 10mp3an13 1443 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
126, 11mpi 20 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
1312adantl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
14 divalglem0.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℤ
15 zsubcl 12012 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
1614, 15mpan 686 . . . 4 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
17 zmulcl 12019 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
189, 17mpan2 687 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
19 dvds2add 15631 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
201, 16, 18, 19mp3an3an 1458 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
2113, 20mpan2d 690 . 2 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22 zcn 11974 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2314, 22ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
24 zcn 11974 . . . 4 (𝑅 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ ℂ)
2518zcnd 12076 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
26 subsub 10904 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2723, 24, 25, 26mp3an3an 1458 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2827breq2d 5069 . 2 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
2921, 28sylibrd 260 1 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  0cn0 11885  cz 11969  abscabs 14581  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  divalglem5  15736
  Copyright terms: Public domain W3C validator