MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem4 15050
Description: Lemma for divalg 15057. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℤ
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 nn0z 11351 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ)
4 zsubcl 11370 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁𝑧) ∈ ℤ)
52, 3, 4sylancr 694 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑧) ∈ ℤ)
6 divides 14916 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑧) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧)))
71, 5, 6sylancr 694 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧)))
8 nn0cn 11253 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℂ)
9 zmulcl 11377 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
101, 9mpan2 706 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
1110zcnd 11434 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
12 zcn 11333 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
132, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℂ
14 subadd 10235 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
1513, 14mp3an1 1408 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16 addcom 10173 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
1716eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
1815, 17bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
198, 11, 18syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
20 eqcom 2628 . . . . . . 7 ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧))
21 eqcom 2628 . . . . . . 7 (((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
2219, 20, 213bitr3g 302 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
2322rexbidva 3043 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
247, 23bitrd 268 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
2524pm5.32i 668 . . 3 ((𝑧 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
26 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑟 = 𝑧 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑧))
2726breq2d 4630 . . . 4 (𝑟 = 𝑧 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
28 divalglem2.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
2927, 28elrab2 3352 . . 3 (𝑧𝑆 ↔ (𝑧 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
30 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
3130eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3231rexbidv 3046 . . . 4 (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3332elrab 3350 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)} ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3425, 29, 333bitr4i 292 . 2 (𝑧𝑆𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)})
3534eqriv 2618 1 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {crab 2911   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887   + caddc 9890   · cmul 9892  cmin 10217  0cn0 11243  cz 11328  cdvds 14914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-dvds 14915
This theorem is referenced by:  divalglem10  15056
  Copyright terms: Public domain W3C validator