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Theorem divalglem6 15056
Description: Lemma for divalg 15061. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1 𝐴 ∈ ℕ
divalglem6.2 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
divalglem6.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
divalglem6 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 11335 . . 3 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 9992 . . 3 0 ∈ ℝ
42, 3lttri2i 10103 . 2 (𝐾 ≠ 0 ↔ (𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾))
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
6 0z 11340 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℕ
87nnzi 11353 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℤ
9 elfzm11 12360 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)))
106, 8, 9mp2an 707 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴))
115, 10mpbi 220 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)
1211simp3i 1070 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐴
1311simp1i 1068 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ ℤ
1413zrei 11335 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ ℝ
157nnrei 10981 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℝ
162, 15remulcli 10006 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
1714, 15, 16ltadd1i 10534 . . . . . . 7 (𝑋 < 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)))
1812, 17mpbi 220 . . . . . 6 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
192renegcli 10294 . . . . . . . 8 -𝐾 ∈ ℝ
207nnnn0i 11252 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
2120nn0ge0i 11272 . . . . . . . . 9 0 ≤ 𝐴
22 lemulge12 10838 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2322an4s 868 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2415, 21, 23mpanl12 717 . . . . . . . 8 ((-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2519, 24mpan 705 . . . . . . 7 (1 ≤ -𝐾𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
26 lt0neg1 10486 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾))
272, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾)
28 znegcl 11364 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℤ
30 zltp1le 11379 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾))
316, 29, 30mp2an 707 . . . . . . . . 9 (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾)
32 0p1e1 11084 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3332breq1i 4625 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) ≤ -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3431, 33bitri 264 . . . . . . . 8 (0 < -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3527, 34bitri 264 . . . . . . 7 (𝐾 < 0 ↔ 1 ≤ -𝐾)
362recni 10004 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ ℂ
3715recni 10004 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
3836, 37mulneg1i 10428 . . . . . . . . . . 11 (-𝐾 · 𝐴) = -(𝐾 · 𝐴)
3938oveq2i 6621 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴))
4016recni 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ
4137, 40subnegi 10312 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4239, 41eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4342breq1i 4625 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4419, 15remulcli 10006 . . . . . . . . 9 (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
45 suble0 10494 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴)))
4615, 44, 45mp2an 707 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4743, 46bitr3i 266 . . . . . . 7 ((𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4825, 35, 473imtr4i 281 . . . . . 6 (𝐾 < 0 → (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4914, 16readdcli 10005 . . . . . . 7 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5015, 16readdcli 10005 . . . . . . 7 (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5149, 50, 3ltletri 10117 . . . . . 6 (((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5218, 48, 51sylancr 694 . . . . 5 (𝐾 < 0 → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5349, 3ltnlei 10110 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5452, 53sylib 208 . . . 4 (𝐾 < 0 → ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
55 elfzle1 12294 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5654, 55nsyl 135 . . 3 (𝐾 < 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
57 zltp1le 11379 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾))
586, 1, 57mp2an 707 . . . . . . . 8 (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾)
5932breq1i 4625 . . . . . . . 8 ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
6058, 59bitri 264 . . . . . . 7 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
61 lemulge12 10838 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6215, 2, 61mpanl12 717 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6321, 62mpan 705 . . . . . . 7 (1 ≤ 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6460, 63sylbi 207 . . . . . 6 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6511simp2i 1069 . . . . . . 7 0 ≤ 𝑋
66 addge02 10491 . . . . . . . 8 (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))))
6716, 14, 66mp2an 707 . . . . . . 7 (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
6865, 67mpbi 220 . . . . . 6 (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))
6915, 16, 49letri 10118 . . . . . 6 ((𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴) ∧ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7064, 68, 69sylancl 693 . . . . 5 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7115, 49lenlti 10109 . . . . 5 (𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7270, 71sylib 208 . . . 4 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
73 elfzm11 12360 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)))
746, 8, 73mp2an 707 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴))
7574simp3bi 1076 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7672, 75nsyl 135 . . 3 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
7756, 76jaoi 394 . 2 ((𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾) → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
784, 77sylbi 207 1 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  -cneg 10219  cn 10972  cz 11329  ...cfz 12276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277
This theorem is referenced by:  divalglem7  15057
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