Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem8 15066
 Description: Lemma for divalg 15069. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem8 (((𝑋𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝑋 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑌 < (abs‘𝐷))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟)   𝐾(𝑟)   𝑋(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
2 ssrab2 3672 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)} ⊆ ℕ0
31, 2eqsstri 3620 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 ⊆ ℕ0
4 nn0sscn 11257 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℂ
53, 4sstri 3597 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ ℂ
65sseli 3584 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆𝑌 ∈ ℂ)
75sseli 3584 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑆𝑋 ∈ ℂ)
8 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ ℤ
9 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ≠ 0
10 nnabscl 14015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
118, 9, 10mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
1211nnzi 11361 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
13 zmulcl 11386 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
1412, 13mpan2 706 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
1514zcnd 11443 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
16 subadd 10244 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌))
176, 7, 15, 16syl3an 1365 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑆𝑋𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌))
18173com12 1266 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑆𝑌𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌))
19 eqcom 2628 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋))
20 eqcom 2628 . . . . . . . 8 ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2118, 19, 203bitr3g 302 . . . . . . 7 ((𝑋𝑆𝑌𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22213adant1r 1316 . . . . . 6 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑌𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
23223adant2r 1318 . . . . 5 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
24 breq1 4626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑌 < (abs‘𝐷)))
25 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ 𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
2624, 25imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 < (abs‘𝐷) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝑌 < (abs‘𝐷) → 𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
273sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℕ0)
28 elnn0z 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℕ0 ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧))
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑆 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧))
3029anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑆𝑧 < (abs‘𝐷)) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ 𝑧 < (abs‘𝐷)))
31 df-3an 1038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷)) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ 𝑧 < (abs‘𝐷)))
3230, 31sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑆𝑧 < (abs‘𝐷)) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷)))
33 0z 11348 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
34 elfzm11 12368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷))))
3533, 12, 34mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷)))
3632, 35sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑆𝑧 < (abs‘𝐷)) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
3736ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑆 → (𝑧 < (abs‘𝐷) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
3826, 37vtoclga 3262 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆 → (𝑌 < (abs‘𝐷) → 𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
39 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4039biimpd 219 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4138, 40sylan9 688 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑆𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))) → (𝑌 < (abs‘𝐷) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4241impancom 456 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
43423ad2ant2 1081 . . . . . . 7 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
44 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑋 < (abs‘𝐷)))
45 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4644, 45imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑋 → ((𝑧 < (abs‘𝐷) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝑋 < (abs‘𝐷) → 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
4746, 37vtoclga 3262 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑆 → (𝑋 < (abs‘𝐷) → 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4847imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) → 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
498, 9divalglem7 15065 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
5048, 49sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
51503adant2 1078 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
5251con2d 129 . . . . . . 7 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) → ¬ 𝐾 ≠ 0))
5343, 52syld 47 . . . . . 6 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → ¬ 𝐾 ≠ 0))
54 df-ne 2791 . . . . . . 7 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
5554con2bii 347 . . . . . 6 (𝐾 = 0 ↔ ¬ 𝐾 ≠ 0)
5653, 55syl6ibr 242 . . . . 5 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐾 = 0))
5723, 56sylbid 230 . . . 4 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝐾 = 0))
58 oveq1 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (0 · (abs‘𝐷)))
5911nncni 10990 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
6059mul02i 10185 . . . . . . . . . . 11 (0 · (abs‘𝐷)) = 0
6158, 60syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = 0)
6261eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 0 = (𝑌𝑋)))
6362biimpac 503 . . . . . . . 8 (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 0 = (𝑌𝑋))
64 subeq0 10267 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑌𝑋) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑋))
656, 7, 64syl2anr 495 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((𝑌𝑋) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑋))
66 eqcom 2628 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑋) = 0 ↔ 0 = (𝑌𝑋))
67 eqcom 2628 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 𝑋𝑋 = 𝑌)
6865, 66, 673bitr3g 302 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → (0 = (𝑌𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
6963, 68syl5ib 234 . . . . . . 7 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑋 = 𝑌))
7069ad2ant2r 782 . . . . . 6 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷))) → (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑋 = 𝑌))
71703adant3 1079 . . . . 5 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑋 = 𝑌))
7271expd 452 . . . 4 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → (𝐾 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
7357, 72mpdd 43 . . 3 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌))
74733expia 1264 . 2 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌)))
7574an4s 868 1 (((𝑋𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝑋 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑌 < (abs‘𝐷))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2912   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034   ≤ cle 10035   − cmin 10226  ℕcn 10980  ℕ0cn0 11252  ℤcz 11337  ...cfz 12284  abscabs 13924   ∥ cdvds 14926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926 This theorem is referenced by:  divalglem9  15067
 Copyright terms: Public domain W3C validator