Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem9 15048
 Description: Lemma for divalg 15050. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
divalglem9.5 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem9 ∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟,𝑥   𝑁,𝑟,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2 divalglem8.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℤ
3 divalglem8.2 . . . . 5 𝐷 ∈ ℤ
4 divalglem8.3 . . . . 5 𝐷 ≠ 0
5 divalglem8.4 . . . . 5 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
62, 3, 4, 5divalglem2 15042 . . . 4 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
71, 6eqeltri 2694 . . 3 𝑅𝑆
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 15044 . . . 4 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
98simpri 478 . . 3 𝑅 < (abs‘𝐷)
10 breq1 4616 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑅 < (abs‘𝐷)))
1110rspcev 3295 . . 3 ((𝑅𝑆𝑅 < (abs‘𝐷)) → ∃𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷))
127, 9, 11mp2an 707 . 2 𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
13 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
1413breq2d 4625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1514, 5elrab2 3348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1615simplbi 476 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℕ0)
1716nn0zd 11424 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℤ)
18 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑦 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑦))
1918breq2d 4625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑦 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)))
2019, 5elrab2 3348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑦)))
2120simplbi 476 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℕ0)
2221nn0zd 11424 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℤ)
23 zsubcl 11363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
242, 23mpan 705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
25 zsubcl 11363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁𝑦) ∈ ℤ)
262, 25mpan 705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁𝑦) ∈ ℤ)
2724, 26anim12i 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ))
2817, 22, 27syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ))
2915simprbi 480 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆𝐷 ∥ (𝑁𝑥))
3020simprbi 480 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆𝐷 ∥ (𝑁𝑦))
3129, 30anim12i 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)))
32 dvds2sub 14940 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
333, 32mp3an1 1408 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
3428, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)))
35 zcn 11326 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
36 zcn 11326 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
372zrei 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 ∈ ℝ
3837recni 9996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 ∈ ℂ
3938subidi 10296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝑁) = 0
4039oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = (0 − (𝑥𝑦))
41 0cn 9976 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
42 subsub2 10253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − (𝑥𝑦)) = (0 + (𝑦𝑥)))
4341, 42mp3an1 1408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − (𝑥𝑦)) = (0 + (𝑦𝑥)))
4440, 43syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = (0 + (𝑦𝑥)))
45 sub4 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)))
4638, 38, 45mpanl12 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)))
47 subcl 10224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
4847ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
4948addid2d 10181 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + (𝑦𝑥)) = (𝑦𝑥))
5044, 46, 493eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) = (𝑦𝑥))
5135, 36, 50syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) = (𝑦𝑥))
5217, 22, 51syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) = (𝑦𝑥))
5352breq2d 4625 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑦𝑥)))
5434, 53mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝐷 ∥ (𝑦𝑥))
55 zsubcl 11363 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥) ∈ ℤ)
5655ancoms 469 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥) ∈ ℤ)
57 absdvdsb 14924 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑦𝑥) ↔ (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥)))
583, 56, 57sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑦𝑥) ↔ (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥)))
5917, 22, 58syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝐷 ∥ (𝑦𝑥) ↔ (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥)))
6054, 59mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥))
61 nnabscl 13999 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
623, 4, 61mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
6362nnzi 11345 . . . . . . . . 9 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
64 divides 14909 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℤ) → ((abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥)))
6563, 56, 64sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥)))
6617, 22, 65syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥)))
6760, 66mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥))
6867adantr 481 . . . . 5 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥))
692, 3, 4, 5divalglem8 15047 . . . . . 6 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
7069rexlimdv 3023 . . . . 5 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
7168, 70mpd 15 . . . 4 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → 𝑥 = 𝑦)
7271ex 450 . . 3 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷)) → 𝑥 = 𝑦))
7372rgen2a 2971 . 2 𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷)) → 𝑥 = 𝑦)
74 breq1 4616 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑦 < (abs‘𝐷)))
7574reu4 3382 . 2 (∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ (∃𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷)) → 𝑥 = 𝑦)))
7612, 73, 75mpbir2an 954 1 ∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  ∃!wreu 2909  {crab 2911   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  infcinf 8291  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018   ≤ cle 10019   − cmin 10210  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  abscabs 13908   ∥ cdvds 14907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908 This theorem is referenced by:  divalglem10  15049
 Copyright terms: Public domain W3C validator