MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalgmod 15745
Description: The result of the mod operator satisfies the requirements for the remainder 𝑅 in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 15744 and divalgb 15743). This demonstration theorem justifies the use of mod to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by AV, 21-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalgmod ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))))

Proof of Theorem divalgmod
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7178 . . . . . 6 (𝑁 mod 𝐷) ∈ V
21snid 4591 . . . . 5 (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}
3 eleq1 2897 . . . . 5 (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}))
42, 3mpbiri 259 . . . 4 (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
5 elsni 4574 . . . 4 (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} → 𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
64, 5impbii 210 . . 3 (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
7 zre 11973 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 nnrp 12388 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
9 modlt 13236 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
107, 8, 9syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
11 nnre 11633 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
12 nnne0 11659 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
13 redivcl 11347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
147, 11, 12, 13syl3an 1152 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
15143anidm23 1413 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
1615flcld 13156 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
17 nnz 11992 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
1817adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℤ)
19 zmodcl 13247 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 12073 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
21 zsubcl 12012 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
2220, 21syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
23 nncn 11634 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
2516zcnd 12076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2624, 25mulcomd 10650 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
27 modval 13227 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
287, 8, 27syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
2919nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
30 zmulcl 12019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
3117, 16, 30syl2an2 682 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
3231zcnd 12076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ)
33 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3529, 32, 34subexsub 11046 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
3628, 35mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
3726, 36eqtr3d 2855 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
38 dvds0lem 15608 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
3916, 18, 22, 37, 38syl31anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
40 divalg2 15744 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
41 breq1 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑧 < 𝐷 ↔ (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷))
42 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁𝑧) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
4342breq2d 5069 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
4441, 43anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ ((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))))
4544riota2 7128 . . . . . . . . 9 (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
4619, 40, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
4710, 39, 46mpbi2and 708 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷))
4847eqcomd 2824 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))))
4948sneqd 4569 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {(𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))})
50 snriota 7136 . . . . . 6 (∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))} = {(𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))})
5140, 50syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))} = {(𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))})
5249, 51eqtr4d 2856 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))})
5352eleq2d 2895 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))}))
546, 53syl5bb 284 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))}))
55 breq1 5060 . . . 4 (𝑧 = 𝑅 → (𝑧 < 𝐷𝑅 < 𝐷))
56 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑧 = 𝑅 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑅))
5756breq2d 5069 . . . 4 (𝑧 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))
5855, 57anbi12d 630 . . 3 (𝑧 = 𝑅 → ((𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
5958elrab 3677 . 2 (𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))} ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
6054, 59syl6bb 288 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  ∃!wreu 3137  {crab 3139  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377  cfl 13148   mod cmo 13225  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  divalgmodcl  15746
  Copyright terms: Public domain W3C validator