MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgmodOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalgmodOLD 15328
Description: Obsolete proof of divalgmod 15327 as of 21-Aug-2021. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
divalgmodOLD ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Proof of Theorem divalgmodOLD
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 11569 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 nnrp 12031 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
3 modlt 12869 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
41, 2, 3syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
5 nnre 11215 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
6 nnne0 11241 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
7 redivcl 10932 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
81, 5, 6, 7syl3an 1164 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
983anidm23 1530 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
109flcld 12789 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
11 nnz 11587 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
1211adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℤ)
13 zmodcl 12880 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 11668 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
15 zsubcl 11607 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
1614, 15syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
17 nncn 11216 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
1817adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
1910zcnd 11671 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2018, 19mulcomd 10249 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
21 modval 12860 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
221, 2, 21syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
23 zcn 11570 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
25 zmulcl 11614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
2611, 10, 25syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ)) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
2726anabss7 897 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
2827zcnd 11671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ)
2913nn0cnd 11541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
30 subsub23 10474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) = (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
3124, 28, 29, 30syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) = (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
32 eqcom 2763 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
33 eqcom 2763 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) = (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
3431, 32, 333bitr3g 302 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
3522, 34mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
3620, 35eqtr3d 2792 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
37 dvds0lem 15190 . . . . . . . 8 ((((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
3810, 12, 16, 36, 37syl31anc 1480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
39 divalg2 15326 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
40 breq1 4803 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑧 < 𝐷 ↔ (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷))
41 oveq2 6817 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁𝑧) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
4241breq2d 4812 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
4340, 42anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ ((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))))
4443riota2 6792 . . . . . . . 8 (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
4513, 39, 44syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
464, 38, 45mpbi2and 994 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷))
4746eqcomd 2762 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))))
4847sneqd 4329 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {(𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))})
49 snriota 6800 . . . . 5 (∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))} = {(𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))})
5039, 49syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))} = {(𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))})
5148, 50eqtr4d 2793 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))})
5251eleq2d 2821 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑟 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))}))
53 velsn 4333 . 2 (𝑟 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑟 = (𝑁 mod 𝐷))
54 breq1 4803 . . . 4 (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 < 𝐷𝑟 < 𝐷))
55 oveq2 6817 . . . . 5 (𝑧 = 𝑟 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑟))
5655breq2d 4812 . . . 4 (𝑧 = 𝑟 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
5754, 56anbi12d 749 . . 3 (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
5857elrab 3500 . 2 (𝑟 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑧))} ↔ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
5952, 53, 583bitr3g 302 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  ∃!wreu 3048  {crab 3050  {csn 4317   class class class wbr 4800  cfv 6045  crio 6769  (class class class)co 6809  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124   · cmul 10129   < clt 10262  cmin 10454   / cdiv 10872  cn 11208  0cn0 11480  cz 11565  +crp 12021  cfl 12781   mod cmo 12858  cdvds 15178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-dvds 15179
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator