Theorem divassi 10632

Description: An associative law for division. (Contributed by NM, 15-Feb-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divass.4	⊢ 𝐶 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divassi	⊢ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem divassi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divass.4	. 2 ⊢ 𝐶 ≠ 0
2		divclz.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4		divmulz.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
5	2, 3, 4	divasszi 10626	. 2 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 5	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779  (class class class)co 6526  ℂcc 9790  0cc0 9792   · cmul 9797   / cdiv 10535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536

This theorem is referenced by:  cos2bnd  14705  6lcm4e12  15115  sincos6thpi  24015  cxpsqrt  24193  1cubrlem  24312  efiatan  24383  log2cnv  24415  log2ublem1  24417  birthday  24425  bclbnd  24749  bposlem8  24760  ex-lcm  26500  ballotth  29719  quad3  30611  areaquad  36604  41prothprmlem1  39856