MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan1d 10651
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan1d (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan1 10543 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792   · cmul 9797   / cdiv 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534
This theorem is referenced by:  ltdiv23  10763  lediv23  10764  recp1lt1  10770  ledivp1  10774  subhalfhalf  11113  xp1d2m1eqxm1d2  11133  div4p1lem1div2  11134  qmulz  11623  iccf1o  12143  ltdifltdiv  12452  bcpasc  12925  sqrtdiv  13800  geo2sum  14389  sqr2irrlem  14762  dvdsval2  14770  flodddiv4t2lthalf  14924  bitsres  14979  bitsuz  14980  mulgcddvds  15153  qredeq  15155  isprm6  15210  qmuldeneqnum  15239  hashgcdlem  15277  pcqdiv  15346  pockthlem  15393  prmreclem3  15406  4sqlem5  15430  4sqlem12  15444  4sqlem15  15447  sylow3lem4  17814  odadd1  18020  odadd2  18021  gexexlem  18024  pgpfac1lem3a  18244  pgpfac1lem3  18245  znidomb  19674  znrrg  19678  nmoleub2lem  22653  nmoleub3  22658  i1fmullem  23184  mbfi1fseqlem3  23207  mbfi1fseqlem4  23208  mbfi1fseqlem5  23209  dvcnp2  23406  dvlip  23477  plydivlem4  23772  cosne0  23997  advlogexp  24118  root1id  24212  cxplogb  24241  ang180lem1  24256  ang180lem3  24258  angpieqvd  24275  chordthmlem  24276  dcubic2  24288  dcubic  24290  dquartlem2  24296  cxploglim2  24422  fsumdvdsdiaglem  24626  logexprlim  24667  bposlem3  24728  lgslem1  24739  gausslemma2dlem1a  24807  lgsquadlem1  24822  2lgslem1a1  24831  log2sumbnd  24950  chpdifbndlem1  24959  selberg4lem1  24966  pntrlog2bndlem3  24985  pntibndlem2  24997  pntlemr  25008  ostth2lem3  25041  ostth2  25043  ostth3  25044  axcontlem7  25568  blocnilem  26849  qqhval2lem  29159  cndprobin  29629  faclimlem1  30688  faclimlem3  30690  nn0prpwlem  31293  bj-ldiv  32135  itg2addnclem3  32436  bfplem1  32594  rrncmslem  32604  rrnequiv  32607  pellexlem6  36219  jm2.19  36381  jm2.27c  36395  binomcxplemnotnn0  37380  sineq0ALT  37998  xralrple2  38315  ltdiv23neg  38362  stoweidlem42  38739  stirlinglem3  38773  dirkertrigeq  38798  dirkercncflem2  38801  dirkercncflem4  38803  fourierdlem4  38808  fourierdlem63  38866  fourierdlem65  38868  fourierdlem83  38886  fourierdlem89  38892  fourierdlem90  38893  fourierdlem91  38894  etransclem38  38969  smfmullem1  39480  sigarcol  39506  sharhght  39507  proththd  39874  mod0mul  42110  nn0sumshdiglemA  42213
  Copyright terms: Public domain W3C validator