MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan2d 10841
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan2d (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan2 10731 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1366 1 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  nneo  11499  zeo2  11502  intfracq  12698  discr  13041  hashf1  13279  caurcvgr  14448  iseralt  14459  mertenslem1  14660  fprodle  14771  bpoly4  14834  tanadd  14941  divconjdvds  15084  mod2eq1n2dvds  15118  bitsmod  15205  mulgcd  15312  qredeq  15418  qredeu  15419  prmind2  15445  isprm5  15466  pythagtriplem19  15585  pcprendvds2  15593  pcpremul  15595  pcadd  15640  prmreclem1  15667  4sqlem19  15714  ablfac1lem  18513  pgpfac1lem3  18522  prmirredlem  19889  znrrg  19962  metnrmlem3  22711  lebnumlem3  22809  pcoass  22870  ipcau2  23079  4cphipval2  23087  minveclem3  23246  sca2rab  23326  ovolscalem1  23327  uniioombllem4  23400  uniioombl  23403  itg1mulc  23516  itg2const2  23553  dvrec  23763  dveflem  23787  lhop1  23822  vieta1  24112  elqaalem3  24121  abelthlem8  24238  tangtx  24302  tanregt0  24330  eff1olem  24339  eflogeq  24393  argregt0  24401  argrege0  24402  argimgt0  24403  cxpeq  24543  ang180lem5  24588  lawcoslem1  24590  isosctrlem2  24594  isosctrlem3  24595  heron  24610  dcubic1lem  24615  dcubic2  24616  dcubic1  24617  mcubic  24619  dquartlem1  24623  dquart  24625  quart1lem  24627  quart1  24628  quart  24633  atantayl2  24710  birthdaylem2  24724  ftalem5  24848  basellem3  24854  basellem4  24855  fsumdvdsdiaglem  24954  logexprlim  24995  mersenne  24997  perfectlem2  25000  perfect  25001  bposlem9  25062  lgsqrlem2  25117  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem3  25147  lgsquadlem1  25150  lgsquad2lem1  25154  m1lgs  25158  2sqlem8  25196  rplogsumlem1  25218  dchrvmasumiflem2  25236  dchrisum0flblem2  25243  dchrisum0fno1  25245  dchrisum0lem1  25250  mulog2sumlem3  25270  selberglem2  25280  selberg3lem1  25291  selberg4lem1  25294  selberg3r  25303  selberg4r  25304  pntrlog2bndlem2  25312  pntlemg  25332  axsegconlem10  25851  axeuclidlem  25887  oddpwdc  30544  subfacval2  31295  circum  31694  faclimlem1  31755  nn0prpwlem  32442  knoppndvlem19  32646  areacirclem1  33630  areacirclem4  33633  cntotbnd  33725  irrapxlem5  37707  pellexlem2  37711  jm2.22  37879  jm2.20nn  37881  nzss  38833  binomcxplemnotnn0  38872  oddfl  39803  xralrple3  39903  sumnnodd  40180  limclner  40201  stoweidlem62  40597  stirlinglem1  40609  dirkertrigeqlem2  40634  dirkertrigeqlem3  40635  fourierdlem66  40707  fourierdlem73  40714  fourierdlem87  40728  qndenserrnbllem  40832  hoiqssbllem2  41158  fmtnoprmfac2lem1  41803  sfprmdvdsmersenne  41845  dfeven4  41876  oddflALTV  41900  nn0onn0exALTV  41934  perfectALTVlem2  41956  perfectALTV  41957  nn0onn0ex  42643
  Copyright terms: Public domain W3C validator