MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan3d 10655
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan3d (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan3 10560 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792   · cmul 9797   / cdiv 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534
This theorem is referenced by:  prodgt0  10717  mulge0b  10742  ltdivmul  10747  ledivmul  10748  zneo  11292  2tnp1ge0ge0  12447  quoremz  12471  quoremnn0ALT  12473  moddiffl  12498  zesq  12804  discr  12818  bcn1  12917  crre  13648  abslem2  13873  fallfacval4  14559  sinhval  14669  eirrlem  14717  sqr2irrlem  14762  ltoddhalfle  14869  flodddiv4  14921  bitsp1e  14938  bitsp1o  14939  iserodd  15324  fldivp1  15385  4sqlem17  15449  gexexlem  18024  abv1z  18601  gzrngunit  19577  ovolunlem1a  22988  itg1mulc  23194  dvrec  23441  elqaalem3  23797  eff1olem  24015  logf1o2  24113  isosctrlem2  24266  heron  24282  dcubic2  24288  mcubic  24291  cubic2  24292  dquartlem1  24295  dquartlem2  24296  dquart  24297  cosasin  24348  efiatan2  24361  tanatan  24363  dvatan  24379  atantayl3  24383  jensen  24432  basellem3  24526  basellem5  24528  basellem8  24531  logfacrlim  24666  perfectlem2  24672  lgsquadlem1  24822  lgsquadlem2  24823  2lgslem1c  24835  2lgslem3a  24838  dchrvmasumlem1  24901  mudivsum  24936  vmalogdivsum2  24944  logsqvma  24948  selberglem2  24952  selberglem3  24953  selberg  24954  selbergr  24974  selberg3r  24975  selberg4r  24976  selberg34r  24977  pntsval2  24982  pntpbnd1a  24991  pntibndlem2  24997  axsegconlem9  25523  cdj1i  28482  subfacval2  30229  circum  30628  knoppndvlem2  31480  knoppndvlem9  31487  areacirclem1  32473  areacirclem4  32476  hashnzfzclim  37346  dmmcand  38273  sumnnodd  38501  sinmulcos  38552  itgsinexp  38650  itgcoscmulx  38665  itgsincmulx  38670  stirlinglem7  38777  dirkertrigeqlem3  38797  dirkeritg  38799  dirkercncflem2  38801  fourierdlem79  38882  fourierdlem83  38886  fourierdlem95  38898  fouriercnp  38923  fourierswlem  38927  etransclem24  38955  etransclem41  38972  sfprmdvdsmersenne  39863  dfodd6  39893  dfeven4  39894  perfectALTVlem2  39970  sinhpcosh  42243
  Copyright terms: Public domain W3C validator