MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan3d 10844
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan3d (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan3 10749 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1366 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  prodgt0  10906  mulge0b  10931  ltdivmul  10936  ledivmul  10937  zneo  11498  2tnp1ge0ge0  12670  quoremz  12694  quoremnn0ALT  12696  moddiffl  12721  zesq  13027  discr  13041  bcn1  13140  crre  13898  abslem2  14123  fallfacval4  14818  sinhval  14928  eirrlem  14976  sqrt2irrlem  15021  sqrt2irrlemOLD  15022  ltoddhalfle  15132  flodddiv4  15184  bitsp1e  15201  bitsp1o  15202  iserodd  15587  fldivp1  15648  4sqlem17  15712  gexexlem  18301  abv1z  18880  gzrngunit  19860  cphipval2  23086  ovolunlem1a  23310  itg1mulc  23516  dvrec  23763  elqaalem3  24121  eff1olem  24339  logf1o2  24441  isosctrlem2  24594  heron  24610  dcubic2  24616  mcubic  24619  cubic2  24620  dquartlem1  24623  dquartlem2  24624  dquart  24625  cosasin  24676  efiatan2  24689  tanatan  24691  dvatan  24707  atantayl3  24711  jensen  24760  basellem3  24854  basellem5  24856  basellem8  24859  logfacrlim  24994  perfectlem2  25000  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  2lgslem1c  25163  2lgslem3a  25166  dchrvmasumlem1  25229  mudivsum  25264  vmalogdivsum2  25272  logsqvma  25276  selberglem2  25280  selberglem3  25281  selberg  25282  selbergr  25302  selberg3r  25303  selberg4r  25304  selberg34r  25305  pntsval2  25310  pntpbnd1a  25319  pntibndlem2  25325  axsegconlem9  25850  cdj1i  29420  subfacval2  31295  circum  31694  knoppndvlem2  32629  knoppndvlem9  32636  areacirclem1  33630  areacirclem4  33633  hashnzfzclim  38838  dmmcand  39841  sumnnodd  40180  sinmulcos  40394  itgsinexp  40488  itgcoscmulx  40503  itgsincmulx  40508  stirlinglem7  40615  dirkertrigeqlem3  40635  dirkeritg  40637  dirkercncflem2  40639  fourierdlem79  40720  fourierdlem83  40724  fourierdlem95  40736  fouriercnp  40761  fourierswlem  40765  etransclem24  40793  etransclem41  40810  sfprmdvdsmersenne  41845  dfodd6  41875  dfeven4  41876  perfectALTVlem2  41956  sinhpcosh  42809
  Copyright terms: Public domain W3C validator