MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan3d 11409
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan3d (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan3 11312 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1363 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   · cmul 10530   / cdiv 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286
This theorem is referenced by:  prodgt0  11475  mulge0b  11498  ltdivmul  11503  ledivmul  11504  zneo  12053  2tnp1ge0ge0  13187  quoremz  13211  quoremnn0ALT  13213  moddiffl  13238  zesq  13575  discr  13589  bcn1  13661  crre  14461  abslem2  14687  fallfacval4  15385  sinhval  15495  eirrlem  15545  sqrt2irrlem  15589  ltoddhalfle  15698  flodddiv4  15752  bitsp1e  15769  bitsp1o  15770  iserodd  16160  fldivp1  16221  4sqlem17  16285  gexexlem  18901  abv1z  19532  gzrngunit  20539  cphipval2  23771  ovolunlem1a  24024  itg1mulc  24232  dvrec  24479  elqaalem3  24837  eff1olem  25059  logf1o2  25160  isosctrlem2  25324  heron  25343  dcubic2  25349  mcubic  25352  cubic2  25353  dquartlem1  25356  dquartlem2  25357  dquart  25358  cosasin  25409  efiatan2  25422  tanatan  25424  dvatan  25440  atantayl3  25444  jensen  25493  basellem3  25587  basellem5  25589  basellem8  25592  logfacrlim  25727  perfectlem2  25733  lgsquadlem1  25883  lgsquadlem2  25884  2lgslem1c  25896  2lgslem3a  25899  dchrvmasumlem1  25998  mudivsum  26033  vmalogdivsum2  26041  logsqvma  26045  selberglem2  26049  selberglem3  26050  selberg  26051  selbergr  26071  selberg3r  26072  selberg4r  26073  selberg34r  26074  pntsval2  26079  pntpbnd1a  26088  pntibndlem2  26094  axsegconlem9  26638  cdj1i  30137  subfacval2  32331  circum  32814  knoppndvlem2  33749  knoppndvlem9  33756  areacirclem1  34863  areacirclem4  34866  hashnzfzclim  40531  dmmcand  41456  sumnnodd  41787  sinmulcos  42022  itgsinexp  42116  itgcoscmulx  42130  itgsincmulx  42135  stirlinglem7  42242  dirkertrigeqlem3  42262  dirkeritg  42264  dirkercncflem2  42266  fourierdlem79  42347  fourierdlem83  42351  fourierdlem95  42363  fouriercnp  42388  fourierswlem  42392  etransclem24  42420  etransclem41  42437  sfprmdvdsmersenne  43645  dfodd6  43679  dfeven4  43680  perfectALTVlem2  43764  smndex2dlinvh  44017  line2  44667  itscnhlc0xyqsol  44680  itsclquadb  44691  sinhpcosh  44767
  Copyright terms: Public domain W3C validator