MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan4d 10652
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan4d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan4 10557 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  (class class class)co 6523  cc 9786  0cc0 9788   · cmul 9793   / cdiv 10529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530
This theorem is referenced by:  mvllmuld  10702  mulge0b  10738  ltmuldiv  10741  rimul  10854  mul2lt0rlt0  11760  mulmod0  12489  2txmodxeq0  12543  expaddzlem  12716  mulsubdivbinom2  12859  facdiv  12887  permnn  12926  cjdiv  13694  sqrtdiv  13796  absdiv  13825  sqreulem  13889  gcddiv  15048  divgcdcoprm0  15159  hashgcdlem  15273  sylow2blem3  17802  cnflddiv  19537  cnsubrg  19567  i1fmullem  23180  mbfi1fseqlem3  23203  mbfi1fseqlem6  23206  dvsincos  23461  ftc1lem4  23519  vieta1lem2  23783  aaliou3lem9  23822  root1eq1  24209  nnlogbexp  24232  relogbcxp  24236  lawcoslem1  24258  chordthmlem2  24273  chordthmlem4  24275  dcubic1lem  24283  dcubic2  24284  dquartlem1  24291  efiatan2  24357  tanatan  24359  regamcl  24500  basellem3  24522  bclbnd  24718  gausslemma2dlem3  24806  2lgslem1a2  24828  2lgslem3b  24835  2lgslem3c  24836  2lgslem3d  24837  2sqlem3  24858  vmadivsum  24884  dchrmusum2  24896  dchrmusumlem  24924  vmalogdivsum  24941  selberg3lem1  24959  pntrlog2bndlem4  24982  pntlemb  24999  normcan  27621  dya2icoseg  29468  bayesth  29630  signsplypnf  29755  bj-ldiv  32131  bj-bary1lem  32136  ftc1cnnclem  32452  dvasin  32465  pellexlem2  36211  pellexlem6  36215  proot1ex  36597  divcan8d  38268  wallispilem5  38762  stirlinglem3  38769  stirlinglem4  38770  stirlinglem15  38781  dirkertrigeqlem1  38791  dirkertrigeqlem2  38792  dirkertrigeqlem3  38793  dirkercncflem4  38799  fourierdlem6  38806  fourierdlem19  38819  fourierdlem26  38826  fourierdlem39  38839  fourierdlem42  38842  fourierdlem63  38862  fourierdlem65  38864  fourierdlem89  38888  fourierdlem90  38889  fourierdlem91  38890  fourierdlem103  38902  fourierdlem104  38903  2zrngnmlid  41737  mvlrmuld  42290
  Copyright terms: Public domain W3C validator