MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan4d 10767
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan4d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan4 10672 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896   · cmul 9901   / cdiv 10644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645
This theorem is referenced by:  mvllmuld  10817  mulge0b  10853  ltmuldiv  10856  rimul  10971  mul2lt0rlt0  11892  mulmod0  12632  2txmodxeq0  12686  expaddzlem  12859  mulsubdivbinom2  13002  facdiv  13030  permnn  13069  cjdiv  13854  sqrtdiv  13956  absdiv  13985  sqreulem  14049  gcddiv  15211  divgcdcoprm0  15322  hashgcdlem  15436  sylow2blem3  17977  cnflddiv  19716  cnsubrg  19746  i1fmullem  23401  mbfi1fseqlem3  23424  mbfi1fseqlem6  23427  dvsincos  23682  ftc1lem4  23740  vieta1lem2  24004  aaliou3lem9  24043  root1eq1  24430  nnlogbexp  24453  relogbcxp  24457  lawcoslem1  24479  chordthmlem2  24494  chordthmlem4  24496  dcubic1lem  24504  dcubic2  24505  dquartlem1  24512  efiatan2  24578  tanatan  24580  regamcl  24721  basellem3  24743  bclbnd  24939  gausslemma2dlem3  25027  2lgslem1a2  25049  2lgslem3b  25056  2lgslem3c  25057  2lgslem3d  25058  2sqlem3  25079  vmadivsum  25105  dchrmusum2  25117  dchrmusumlem  25145  vmalogdivsum  25162  selberg3lem1  25180  pntrlog2bndlem4  25203  pntlemb  25220  normcan  28323  dya2icoseg  30162  bayesth  30324  signsplypnf  30449  bj-ldiv  32827  bj-bary1lem  32832  ftc1cnnclem  33154  dvasin  33167  pellexlem2  36913  pellexlem6  36917  proot1ex  37299  divcan8d  39026  wallispilem5  39623  stirlinglem3  39630  stirlinglem4  39631  stirlinglem15  39642  dirkertrigeqlem1  39652  dirkertrigeqlem2  39653  dirkertrigeqlem3  39654  dirkercncflem4  39660  fourierdlem6  39667  fourierdlem19  39680  fourierdlem26  39687  fourierdlem39  39700  fourierdlem42  39703  fourierdlem63  39723  fourierdlem65  39725  fourierdlem89  39749  fourierdlem90  39750  fourierdlem91  39751  fourierdlem103  39763  fourierdlem104  39764  2zrngnmlid  41267  mvlrmuld  41855
  Copyright terms: Public domain W3C validator