Theorem divcan4d 11416

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan4 11319	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536   / cdiv 11291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292

This theorem is referenced by:  mvllmuld  11466  ldiv  11468  mulge0b  11504  ltmuldiv  11507  rimul  11623  mul2lt0rlt0  12485  mulmod0  13239  2txmodxeq0  13293  expaddzlem  13466  mulsubdivbinom2  13616  facdiv  13641  permnn  13680  cjdiv  14517  sqrtdiv  14619  absdiv  14649  sqreulem  14713  gcddiv  15893  divgcdcoprm0  16003  hashgcdlem  16119  sylow2blem3  18741  cnflddiv  20569  cnsubrg  20599  i1fmullem  24289  mbfi1fseqlem3  24312  mbfi1fseqlem6  24315  dvsincos  24572  ftc1lem4  24630  vieta1lem2  24894  aaliou3lem9  24933  root1eq1  25330  nnlogbexp  25353  relogbcxp  25357  lawcoslem1  25387  chordthmlem2  25405  chordthmlem4  25407  dcubic1lem  25415  dcubic2  25416  dquartlem1  25423  efiatan2  25489  tanatan  25491  regamcl  25632  basellem3  25654  bclbnd  25850  gausslemma2dlem3  25938  2lgslem1a2  25960  2lgslem3b  25967  2lgslem3c  25968  2lgslem3d  25969  2sqlem3  25990  vmadivsum  26052  dchrmusum2  26064  dchrmusumlem  26092  vmalogdivsum  26109  selberg3lem1  26127  pntrlog2bndlem4  26150  pntlemb  26167  normcan  29347  dya2icoseg  31530  bayesth  31692  signsplypnf  31815  divsqrtid  31860  bj-bary1lem  34585  ftc1cnnclem  34959  dvasin  34972  fltnlta  39268  3cubeslem4  39279  pellexlem2  39420  pellexlem6  39424  proot1ex  39794  divcan8d  41572  wallispilem5  42348  stirlinglem3  42355  stirlinglem4  42356  stirlinglem15  42367  dirkertrigeqlem1  42377  dirkertrigeqlem2  42378  dirkertrigeqlem3  42379  dirkercncflem4  42385  fourierdlem6  42392  fourierdlem19  42405  fourierdlem26  42412  fourierdlem39  42425  fourierdlem42  42428  fourierdlem63  42448  fourierdlem65  42450  fourierdlem89  42474  fourierdlem90  42475  fourierdlem91  42476  fourierdlem103  42488  fourierdlem104  42489  2zrngnmlid  44214  1subrec1sub  44686  mvlrmuld  44871