MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcld 10650
Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcl 10540 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  wne 2779  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792   / cdiv 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534
This theorem is referenced by:  dmdcan2d  10680  mulsubdivbinom2  12863  hashf1  13050  abs1m  13869  abslem2  13873  sqreulem  13893  sqreu  13894  o1fsum  14332  divrcnv  14369  divcnv  14370  geolim  14386  geolim2  14387  geo2sum  14389  geo2lim  14391  fproddiv  14476  bpolycl  14568  bpolysum  14569  bpolydiflem  14570  bpoly4  14575  eftcl  14589  efaddlem  14608  tancl  14644  tanval2  14648  qredeq  15155  pcaddlem  15376  pjthlem1  22933  iblss  23294  itgeqa  23303  iblconst  23307  iblabsr  23319  iblmulc2  23320  itgsplit  23325  dvlem  23383  dvmulbr  23425  dvcobr  23432  dvrec  23441  dvcnvlem  23460  dveflem  23463  dvsincos  23465  dvlip  23477  c1liplem1  23480  lhop1lem  23497  lhop1  23498  lhop2  23499  lhop  23500  ftc1lem4  23523  vieta1lem2  23787  vieta1  23788  elqaalem3  23797  aareccl  23802  aalioulem1  23808  taylfvallem1  23832  tayl0  23837  taylply2  23843  taylply  23844  dvtaylp  23845  taylthlem2  23849  ulmdvlem1  23875  tanregt0  24006  eff1olem  24015  argregt0  24077  argrege0  24078  argimgt0  24079  logcnlem4  24108  advlogexp  24118  logtaylsum  24124  logtayl2  24125  root1eq1  24213  logbcl  24222  cxplogb  24241  logbf  24244  angcld  24252  angrteqvd  24253  cosangneg2d  24254  angrtmuld  24255  ang180lem1  24256  ang180lem2  24257  ang180lem3  24258  ang180lem4  24259  ang180lem5  24260  lawcoslem1  24262  lawcos  24263  isosctrlem2  24266  isosctrlem3  24267  angpieqvdlem  24272  angpieqvdlem2  24273  angpieqvd  24275  dcubic1lem  24287  dcubic2  24288  dcubic1  24289  dcubic  24290  mcubic  24291  cubic2  24292  dquartlem1  24295  dquartlem2  24296  dquart  24297  quart1cl  24298  quart1lem  24299  quart1  24300  quartlem3  24303  quartlem4  24304  quart  24305  tanatan  24363  atantayl  24381  atantayl2  24382  atantayl3  24383  log2cnv  24388  birthdaylem2  24396  efrlim  24413  dfef2  24414  cxploglim2  24422  fsumharmonic  24455  lgamgulmlem2  24473  lgamgulmlem3  24474  lgamgulmlem4  24475  lgamgulmlem5  24476  lgamgulmlem6  24477  lgamgulm2  24479  lgamcvg2  24498  gamcvg  24499  gamcvg2lem  24502  ftalem4  24519  ftalem5  24520  basellem8  24531  logexprlim  24667  bposlem9  24734  2lgslem3d  24841  2sqlem3  24862  dchrmusum2  24900  dchrvmasum2lem  24902  dchrvmasumiflem1  24907  dchrvmasumiflem2  24908  dchrvmaeq0  24910  dchrisum0re  24919  dchrisum0lem1b  24921  dchrisum0lem1  24922  dchrisum0lem2a  24923  dchrisum0lem2  24924  dchrisum0lem3  24925  dchrisum0  24926  mudivsum  24936  vmalogdivsum2  24944  vmalogdivsum  24945  2vmadivsumlem  24946  selberg2  24957  selberg3lem1  24963  selberg3  24965  selberg4lem1  24966  selbergr  24974  selberg3r  24975  selberg4r  24976  selberg34r  24977  pntrlog2bndlem1  24983  pntrlog2bndlem2  24984  pntrlog2bndlem3  24985  pntrlog2bndlem4  24986  pntrlog2bndlem5  24987  colinearalg  25508  axcontlem8  25569  pjhthlem1  27440  eigvalcl  28010  riesz3i  28111  bcm1n  28747  divnumden2  28757  oddpwdc  29549  signsplypnf  29759  signsply0  29760  subfacval2  30229  divcnvlin  30677  bcprod  30683  iprodgam  30687  unbdqndv2lem1  31476  knoppndvlem2  31480  knoppndvlem7  31485  knoppndvlem9  31487  knoppndvlem10  31488  knoppndvlem16  31494  knoppndvlem17  31495  itg2addnclem  32427  iblmulc2nc  32441  ftc1cnnclem  32449  areacirclem1  32466  areacirclem4  32469  areacirc  32471  cntotbnd  32561  pellexlem2  36208  pellexlem6  36212  jm2.19  36374  jm2.27c  36388  proot1ex  36594  cvgdvgrat  37330  radcnvrat  37331  hashnzfzclim  37339  bcccl  37356  bccm1k  37359  binomcxplemrat  37367  binomcxplemfrat  37368  binomcxplemnotnn0  37373  xralrple2  38308  mccllem  38461  clim1fr1  38465  0ellimcdiv  38513  coseq0  38544  dvrecg  38597  dvmptdiv  38604  fperdvper  38605  dvdivbd  38610  dvnmptdivc  38625  dvnxpaek  38629  dvnprodlem2  38634  iblsplit  38655  itgcoscmulx  38658  itgsincmulx  38663  stoweidlem11  38701  stoweidlem26  38716  stoweidlem42  38732  wallispilem4  38758  wallispilem5  38759  wallispi  38760  wallispi2lem1  38761  wallispi2lem2  38762  wallispi2  38763  stirlinglem1  38764  stirlinglem3  38766  stirlinglem4  38767  stirlinglem5  38768  stirlinglem6  38769  stirlinglem7  38770  stirlinglem13  38776  stirlinglem14  38777  stirlinglem15  38778  dirkeritg  38792  dirkercncflem1  38793  dirkercncflem2  38794  fourierdlem26  38823  fourierdlem39  38836  fourierdlem56  38852  fourierdlem62  38858  fourierdlem72  38868  fourierdlem74  38870  fourierdlem75  38871  fourierdlem76  38872  fourierdlem80  38876  fourierdlem103  38899  fourierdlem104  38900  fouriersw  38921  elaa2lem  38923  etransclem15  38939  etransclem20  38944  etransclem21  38945  etransclem22  38946  etransclem23  38947  etransclem24  38948  etransclem25  38949  etransclem31  38955  etransclem32  38956  etransclem33  38957  etransclem34  38958  etransclem35  38959  etransclem47  38971  etransclem48  38972  hoiqssbllem2  39310  sigardiv  39496  sharhght  39500  fmtnoprmfac2lem1  39814  fdivmptf  42128  cotcl  42248
  Copyright terms: Public domain W3C validator