MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcn 22718
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
divcn.k 𝐾 = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
divcn / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Proof of Theorem divcn
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-div 10723 . . 3 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2 eldifsn 4350 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
3 divval 10725 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4 divrec 10739 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
53, 4eqtr3d 2687 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
653expb 1285 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
72, 6sylan2b 491 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
87mpt2eq3ia 6762 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
91, 8eqtri 2673 . 2 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦)))
10 addcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1110cnfldtopon 22633 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
13 divcn.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
14 difss 3770 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
15 resttopon 21013 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1612, 14, 15sylancl 695 . . . . 5 (⊤ → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1713, 16syl5eqel 2734 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1812, 17cnmpt1st 21519 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
1912, 17cnmpt2nd 21520 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
20 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))
21 eldifsn 4350 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
22 reccl 10730 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
2321, 22sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
2420, 23fmpti 6423 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
25 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑦), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑦)) · ((abs‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝑥) · 𝑦), 1, ((abs‘𝑥) · 𝑦)) · ((abs‘𝑥) / 2))
2625reccn2 14371 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦))
27 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
28 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑤 ∈ ℂ)
30 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3130cnmetdval 22621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
32 abssub 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3331, 32eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3428, 29, 33syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3527, 34eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) = (abs‘(𝑤𝑥)))
3635breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢))
37 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑥 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑥))
38 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑥) ∈ V
3937, 20, 38fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
40 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑤))
41 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑤) ∈ V
4240, 20, 41fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
4339, 42oveqan12d 6709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) = ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)))
44 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
45 reccl 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
4644, 45sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
47 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
48 reccl 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
4947, 48sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
5030cnmetdval 22621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑤))))
51 abssub 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑥) − (1 / 𝑤))) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5250, 51eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5346, 49, 52syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / 𝑥)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5443, 53eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))))
5554breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦))
5636, 55imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
5756ralbidva 3014 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
5857rexbidv 3081 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
5958adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑥))) < 𝑦)))
6026, 59mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦))
6160rgen2 3004 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦)
62 cnxmet 22623 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
63 xmetres2 22213 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})))
6462, 14, 63mp2an 708 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0}))
65 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
6610cnfldtopn 22632 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
67 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
6865, 66, 67metrest 22376 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))))
6962, 14, 68mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
7013, 69eqtri 2673 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))))
7170, 66metcn 22395 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) ∈ (∞Met‘(ℂ ∖ {0})) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦))))
7264, 62, 71mp2an 708 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑥((abs ∘ − ) ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑤) < 𝑢 → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧))‘𝑤)) < 𝑦)))
7324, 61, 72mpbir2an 975 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
7473a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
75 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (1 / 𝑧) = (1 / 𝑦))
7612, 17, 19, 17, 74, 75cnmpt21 21522 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
7710mulcn 22717 . . . . 5 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
7877a1i 11 . . . 4 (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7912, 17, 18, 76, 78cnmpt22f 21526 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
8079trud 1533 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · (1 / 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
819, 80eqeltri 2726 1 / ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  crio 6650  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  abscabs 14018  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  MetOpencmopn 19784  fldccnfld 19794  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174
This theorem is referenced by:  cdivcncf  22767  evth  22805  dvcnvlem  23784  lhop1lem  23821
  Copyright terms: Public domain W3C validator