Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcnvlin 31361
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
divcnvlin.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
divcnvlin.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcnvlin.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
divcnvlin.5 (𝜑𝐹𝑉)
divcnvlin.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
divcnvlin (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 10980 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
21adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
54zcnd 11435 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
63, 5subcld 10344 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
8 nnne0 11005 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
98adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
102, 7, 2, 9divdird 10791 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
112, 9dividd 10751 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
1211oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1310, 12eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1413mpteq2dva 4709 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))))
15 nnuz 11675 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
16 1zzd 11360 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17 divcnv 14521 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
186, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
19 1cnd 10008 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20 nnex 10978 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
2120mptex 6446 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V)
237, 2, 9divcld 10753 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐵) / 𝑚) ∈ ℂ)
24 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))
2523, 24fmptd 6346 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
2625ffvelrnda 6320 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
27 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝐵) / 𝑚) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
2827oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
29 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
30 ovex 6638 . . . . . . . 8 (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6244 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
32 ovex 6638 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) / 𝑘) ∈ V
3327, 24, 32fvmpt 6244 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
3433oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
3531, 34eqtr4d 2658 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3635adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3715, 16, 18, 19, 22, 26, 36climaddc2 14308 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ⇝ (1 + 0))
3814, 37eqbrtrd 4640 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0))
39 nnssz 11349 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
40 resmpt 5413 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
4215reseq2i 5358 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
4341, 42eqtr3i 2645 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
44 1p0e1 11085 . . . . 5 (1 + 0) = 1
4543, 44breq12i 4627 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1)
46 1z 11359 . . . . 5 1 ∈ ℤ
47 zex 11338 . . . . . 6 ℤ ∈ V
4847mptex 6446 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V
49 climres 14248 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
5046, 48, 49mp2an 707 . . . 4 (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5145, 50bitri 264 . . 3 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5238, 51sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
53 divcnvlin.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
54 divcnvlin.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
55 divcnvlin.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
5648a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V)
57 eluzelz 11649 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5857, 53eleq2s 2716 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
5958zcnd 11435 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
6059adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
614adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
6261zcnd 11435 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
633adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6460, 62, 63ppncand 10384 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝑘 + 𝐴))
6564oveq1d 6625 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
6658adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
6766, 61zaddcld 11438 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
68 oveq1 6617 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝑚 + (𝐴𝐵)) = ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → 𝑚 = (𝑘 + 𝐵))
7068, 69oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
71 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
72 ovex 6638 . . . . . 6 (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 6244 . . . . 5 ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
75 divcnvlin.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
7665, 74, 753eqtr4d 2665 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹𝑘))
7753, 54, 4, 55, 56, 76climshft2 14255 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
7852, 77mpbird 247 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  wss 3559   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cres 5081  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  cz 11329  cuz 11639  cli 14157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-rlim 14162
This theorem is referenced by:  faclimlem2  31373  faclim2  31377
  Copyright terms: Public domain W3C validator