MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcnvshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcnvshft 15198
Description: Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvshft.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
divcnvshft.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
divcnvshft.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcnvshft.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
divcnvshft.5 (𝜑𝐹𝑉)
divcnvshft.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
divcnvshft (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvshft
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divcnvshft.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcnv 15196 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
4 nnssz 11990 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
5 resmpt 5898 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))
7 nnuz 12269 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
87reseq2i 5843 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
96, 8eqtr3i 2843 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
109breq1i 5064 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0)
11 1z 12000 . . . . 5 1 ∈ ℤ
12 zex 11978 . . . . . 6 ℤ ∈ V
1312mptex 6977 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
14 climres 14920 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
1511, 13, 14mp2an 688 . . . 4 (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
1610, 15bitri 276 . . 3 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
173, 16sylib 219 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
18 divcnvshft.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
19 divcnvshft.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 divcnvshft.4 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
21 divcnvshft.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
2213a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V)
23 uzssz 12252 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2418, 23eqsstri 3998 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℤ
2524sseli 3960 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
2720adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
2826, 27zaddcld 12079 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
29 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
30 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))
31 ovex 7178 . . . . . 6 (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6761 . . . . 5 ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
3328, 32syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
34 divcnvshft.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
3533, 34eqtr4d 2856 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹𝑘))
3618, 19, 20, 21, 22, 35climshft2 14927 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
3717, 36mpbird 258 1 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   / cdiv 11285  cn 11626  cz 11969  cuz 12231  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834
This theorem is referenced by:  trireciplem  15205  lgamcvg2  25559  binomcxplemrat  40559
  Copyright terms: Public domain W3C validator