Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcnvshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcnvshft 14507
 Description: Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvshft.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
divcnvshft.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
divcnvshft.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcnvshft.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
divcnvshft.5 (𝜑𝐹𝑉)
divcnvshft.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
divcnvshft (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvshft
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divcnvshft.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcnv 14505 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
4 nnssz 11342 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
5 resmpt 5412 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))
7 nnuz 11667 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
87reseq2i 5357 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
96, 8eqtr3i 2650 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
109breq1i 4625 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0)
11 1z 11352 . . . . 5 1 ∈ ℤ
12 zex 11331 . . . . . 6 ℤ ∈ V
1312mptex 6441 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
14 climres 14235 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
1511, 13, 14mp2an 707 . . . 4 (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
1610, 15bitri 264 . . 3 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
173, 16sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
18 divcnvshft.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
19 divcnvshft.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 divcnvshft.4 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
21 divcnvshft.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
2213a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V)
23 uzssz 11651 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2418, 23eqsstri 3619 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℤ
2524sseli 3584 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
2720adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
2826, 27zaddcld 11430 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
29 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
30 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))
31 ovex 6633 . . . . . 6 (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6240 . . . . 5 ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
3328, 32syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
34 divcnvshft.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
3533, 34eqtr4d 2663 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹𝑘))
3618, 19, 20, 21, 22, 35climshft2 14242 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
3717, 36mpbird 247 1 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678   ↾ cres 5081  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   / cdiv 10629  ℕcn 10965  ℤcz 11322  ℤ≥cuz 11631   ⇝ cli 14144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-rlim 14149 This theorem is referenced by:  binomcxplemrat  38017
 Copyright terms: Public domain W3C validator