Theorem divcnvshft 14675

Description: Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
divcnvshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
divcnvshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcnvshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
divcnvshft.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
divcnvshft	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcnvshft.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcnv 14673	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
4		nnssz 11478	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
5		resmpt 5527	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))
7		nnuz 11805	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8	7	reseq2i 5468	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
9	6, 8	eqtr3i 2716	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
10	9	breq1i 4735	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0)
11		1z 11488	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zex 11467	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
13	12	mptex 6570	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
14		climres 14394	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
15	11, 13, 14	mp2an 710	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
16	10, 15	bitri 264	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
17	3, 16	sylib 208	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
18		divcnvshft.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
19		divcnvshft.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		divcnvshft.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
21		divcnvshft.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
22	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V)
23		uzssz 11788	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
24	18, 23	eqsstri 3709	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
25	24	sseli 3673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
26	25	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	20	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	26, 27	zaddcld 11567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
29		oveq2 6741	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
30		eqid 2692	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))
31		ovex 6761	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
32	29, 30, 31	fvmpt 6364	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
33	28, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
34		divcnvshft.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
35	33, 34	eqtr4d 2729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹‘𝑘))
36	18, 19, 20, 21, 22, 35	climshft2 14401	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
37	17, 36	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1564   ∈ wcel 2071  Vcvv 3272   ⊆ wss 3648   class class class wbr 4728   ↦ cmpt 4805   ↾ cres 5188  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  ℂcc 10015  0cc0 10017  1c1 10018   + caddc 10020   / cdiv 10765  ℕcn 11101  ℤcz 11458  ℤ_≥cuz 11768   ⇝ cli 14303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-pm 7945  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-sup 8432  df-inf 8433  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-rp 11915  df-fl 12676  df-seq 12885  df-exp 12944  df-shft 13895  df-cj 13927  df-re 13928  df-im 13929  df-sqrt 14063  df-abs 14064  df-clim 14307  df-rlim 14308

This theorem is referenced by:  binomcxplemrat  38936