MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdird 10688
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divdird (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divdir 10559 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1321 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792   + caddc 9795   / cdiv 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534
This theorem is referenced by:  zesq  12804  sqreulem  13893  bitsp1o  14939  bitsmod  14942  lcmgcdlem  15103  pythagtriplem19  15322  fldivp1  15385  mul4sqlem  15441  4sqlem17  15449  metnrmlem3  22403  pcoass  22563  ovollb2lem  22980  opnmbllem  23092  dvaddbr  23424  dvmulbr  23425  ftc1lem4  23523  vieta1lem2  23787  cosargd  24075  tanarg  24086  cxpaddle  24210  cxpeq  24215  dcubic1lem  24287  dcubic2  24288  mcubic  24291  cubic2  24292  dquartlem1  24295  dquart  24297  cosatan  24365  atantan  24367  dvatan  24379  jensenlem2  24431  logdifbnd  24437  emcllem3  24441  emcllem5  24443  dmgmdivn0  24471  lgamgulmlem2  24473  lgamgulmlem5  24476  lgamcvg2  24498  lgam1  24507  basellem3  24526  basellem8  24531  perfectlem2  24672  bclbnd  24722  lgseisenlem1  24817  lgsquad2lem1  24826  dchrvmasum2if  24903  selberg3  24965  selberg4  24967  selberg34r  24977  pntrlog2bndlem2  24984  pntrlog2bndlem4  24986  pntrlog2bndlem5  24987  pntrlog2bndlem6  24989  pntibndlem2  24997  brbtwn2  25503  axsegconlem10  25524  axeuclidlem  25560  axcontlem8  25569  dya2icoseg  29472  divcnvlin  30677  iprodgam  30687  knoppndvlem9  31487  bj-bary1lem  32140  bj-bary1  32142  poimirlem29  32411  opnmbllem0  32418  dvtan  32433  ftc1cnnclem  32456  dvasin  32469  areacirclem1  32473  reglogmul  36278  binomcxplemwb  37372  clim1fr1  38472  coseq0  38551  stirlinglem4  38774  stirlinglem6  38776  dirkerper  38793  dirkertrigeqlem3  38797  dirkercncflem1  38800  dirkercncflem2  38801  fourierdlem4  38808  fourierdlem26  38830  fourierdlem42  38846  fourierdlem83  38886  fourierdlem112  38915  sqwvfourb  38926  etransclem44  38975  perfectALTVlem2  39970  cotsqcscsq  42265
  Copyright terms: Public domain W3C validator