MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdird 10877
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divdird (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divdir 10748 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1370 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  zesq  13027  sqreulem  14143  bitsp1o  15202  bitsmod  15205  lcmgcdlem  15366  pythagtriplem19  15585  fldivp1  15648  mul4sqlem  15704  4sqlem17  15712  metnrmlem3  22711  pcoass  22870  ovollb2lem  23302  opnmbllem  23415  dvaddbr  23746  dvmulbr  23747  ftc1lem4  23847  vieta1lem2  24111  cosargd  24399  tanarg  24410  cxpaddle  24538  cxpeq  24543  dcubic1lem  24615  dcubic2  24616  mcubic  24619  cubic2  24620  dquartlem1  24623  dquart  24625  cosatan  24693  atantan  24695  dvatan  24707  jensenlem2  24759  logdifbnd  24765  emcllem3  24769  emcllem5  24771  dmgmdivn0  24799  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem5  24804  lgamcvg2  24826  lgam1  24835  basellem3  24854  basellem8  24859  perfectlem2  25000  bclbnd  25050  lgseisenlem1  25145  lgsquad2lem1  25154  dchrvmasum2if  25231  selberg3  25293  selberg4  25295  selberg34r  25305  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6  25317  pntibndlem2  25325  brbtwn2  25830  axsegconlem10  25851  axeuclidlem  25887  axcontlem8  25896  dya2icoseg  30467  divcnvlin  31744  iprodgam  31754  knoppndvlem9  32636  bj-bary1lem  33290  bj-bary1  33292  poimirlem29  33568  opnmbllem0  33575  dvtan  33590  ftc1cnnclem  33613  dvasin  33626  areacirclem1  33630  reglogmul  37774  binomcxplemwb  38864  clim1fr1  40151  coseq0  40393  stirlinglem4  40612  stirlinglem6  40614  dirkerper  40631  dirkertrigeqlem3  40635  dirkercncflem1  40638  dirkercncflem2  40639  fourierdlem4  40646  fourierdlem26  40668  fourierdlem42  40684  fourierdlem83  40724  fourierdlem112  40753  sqwvfourb  40764  etransclem44  40813  perfectALTVlem2  41956  cotsqcscsq  42831
  Copyright terms: Public domain W3C validator