Theorem divdird 11457

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11326	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540   + caddc 10543   / cdiv 11300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301

This theorem is referenced by:  zesq  13590  sqreulem  14722  bitsp1o  15785  bitsmod  15788  lcmgcdlem  15953  pythagtriplem19  16173  fldivp1  16236  mul4sqlem  16292  4sqlem17  16300  metnrmlem3  23472  pcoass  23631  ovollb2lem  24092  opnmbllem  24205  dvaddbr  24538  dvmulbr  24539  ftc1lem4  24639  vieta1lem2  24903  cosargd  25194  tanarg  25205  cxpaddle  25336  cxpeq  25341  dcubic1lem  25424  dcubic2  25425  mcubic  25428  cubic2  25429  dquartlem1  25432  dquart  25434  cosatan  25502  atantan  25504  dvatan  25516  jensenlem2  25568  logdifbnd  25574  emcllem3  25578  emcllem5  25580  dmgmdivn0  25608  lgamgulmlem2  25610  lgamgulmlem5  25613  lgamcvg2  25635  lgam1  25644  basellem3  25663  basellem8  25668  perfectlem2  25809  bclbnd  25859  lgseisenlem1  25954  lgsquad2lem1  25963  dchrvmasum2if  26076  selberg3  26138  selberg4  26140  selberg34r  26150  pntrlog2bndlem2  26157  pntrlog2bndlem4  26159  pntrlog2bndlem5  26160  pntrlog2bndlem6  26162  pntibndlem2  26170  brbtwn2  26694  axsegconlem10  26715  axeuclidlem  26751  axcontlem8  26760  dya2icoseg  31539  divcnvlin  32968  iprodgam  32978  knoppndvlem9  33863  bj-bary1lem  34595  bj-bary1  34597  poimirlem29  34925  opnmbllem0  34932  dvtan  34946  ftc1cnnclem  34969  dvasin  34982  areacirclem1  34986  3cubeslem4  39292  reglogmul  39496  binomcxplemwb  40686  clim1fr1  41888  coseq0  42151  stirlinglem4  42369  stirlinglem6  42371  dirkerper  42388  dirkertrigeqlem3  42392  dirkercncflem1  42395  dirkercncflem2  42396  fourierdlem4  42403  fourierdlem26  42425  fourierdlem42  42441  fourierdlem83  42481  fourierdlem112  42510  sqwvfourb  42521  etransclem44  42570  quad1  43792  requad1  43794  perfectALTVlem2  43894  eenglngeehlnmlem1  44731  line2  44746  itsclc0xyqsolr  44763  itsclquadb  44770  cotsqcscsq  44868